Pojednání o podivných úkazech, které je možno pozorovat na nekonečných množinách

Úvod:

Na následujících stránkách jsou zachyceny některé úvahy týkající se základů tak zvané vyšší matematiky a teorie množin. Následující pojednání jsem vytvořil takřka z ničeho, neboť mám pouze základní znalosti vysokoškolské matematiky, náročné povolání mi nedovolilo rozsáhlejší studium matematických pojednání a mezi matematiky se našlo velmi málo těch, kteří byli přístupni jakékoliv diskusi na dané téma. Mohl jsem se spolehnout jen na vlastní logické uvažování a to ve věku, o kterém se říká, že už není vhodný pro objevování nějakých nových matematických skutečností. Úvahy jsou prováděny – z důvodů dále popsaných- bez použití jakékoliv formalizace a jsou zachyceny pouze nejzákladnější skutečnosti, neboť náročnost příslušných pojednání, zdravotní problémy, které mne pronásledují a značné vyčerpání mi zatím nedovolí zpracovat pojednání důkladněji. Je možné, že se to po čase zlepší, ale zatím se musím spokojit s tím, co jsem po značné námaze posledních deseti let vytvořil a v posledních dvou letech upřesnil a upravil.

Použitá literatura:

Při zpracování tohoto pojednání jsem používal běžné vysokoškolské učebnice matematiky (na př. Vojtěch Jarník: Základy diferenciálního počtu, Petr Štěpánek, Bohuslav Balcar: Teorie množin) a dále tyto publikace:

1)Bernard Bolzano: Paradoxy nekonečna, ČSAV, Praha 1963 (překlad Paradoxien des unendliches

vydané  roku 1851 v Lipsku)

2)Platon: Dialog Parmenidés. Přeložil František Novotný.Vydal r.1936 Jan Laichter v Praze

3)Martin Semerád: Imaginace nekonečna (rukopis)

4)Martin Semerád: Imaginace nekonečna – disertační práce MFF UK – červen 2007

5)Petr Vopěnka : Podivuhodný květ českého baroka. Karolinum. Praha 1998

6)Petr Vopěnka : Meditace o základech vědy. Práh. Praha 2001

7)Petr Vopěnka : Vyprávění o krásách novobarokní matematiky. Práh. Praha 2004

8)Petr Vopěnka: Fenomenologie matematiky – přednášky z let 2006 - 2008

V průběhu zpracování jsem vyhledal na internetu následující texty, týkající se tématu:

9) Karel Drábek: Přednáška 1 až 10. ZČU Plzeň

10) Timothy Gowers: Is there such thing as infinity?

Obsah:

Část I. Kritika přístupu matematiky k pojmu nekonečna

§1. Vyjádření nedůvěry formální matematice a logice

1.1. Úvod

1.2. Chyby v matematických knihách

1.3. Stručná a velmi nepřesná historie pojmu nekonečna

1.4. Rekapitulace toho proč a jak pojem nekonečna vznikl a co tento pojem vlastně

znamená.

§2: Některé podivné jevy, které lze pozorovat na nekonečných množinách

2.1. Existuje nekonečná množina přirozených čísel, kterou nelze vytvořit

2.2. Nekonečná množina přirozených čísel existuje, ale nelze ji vytvořit

2.3. Postupným slučováním množin Mi nelze množinu přirozených čísel vytvořit

2.4. Nekonečnou množinu přirozených čísel lze slučováním množin Mi vytvořit.

2.5. Postupným odebíráním čísel z množiny N nelze tuto množinu vyčerpat.

2.6. Odebráním všech přirozených čísel z množiny N získáme prázdnou množinu

2.7. Postupným slučováním uzavřených intervalů délky (1/2)ⁿ nelze vytvořit

uzavřený interval délky 1

2.8. Interval délky 1 lze slučováním uzavřených intervalů délky (1/2)ⁿ vytvořit

2.9. Interval I definovaný vpředu je interval zprava otevřený

2.10. Nelze nalézt způsob, jak z uvedené nekonečné posloupnost uzavřených intervalů získat uzavřený interval <0,1>.

2.11. „Potenciální nekonečno“, „aktuální nekonečno“ a „podivné“ vlastnosti

nekonečných množin.

2.12. O užitečnosti pojmu limity. Supremum a infimum.

§ 3. Paradoxy nekonečného množství

3.1. Jak lze očíslovat všechny body jednotkové úsečky

3.2. Jak lze očíslovat všechny nekonečné posloupnosti nul a jedniček

3.3. Přímá konfrontace Cantorova uhlopříčkového důkazu s tvrzením v odst. 3.2.

§ 4. Rozbor uvedených rozporů

4.1. Co znamená věta „existuje nekonečná množina“

4.2. Jak to, že matematika funguje, přesto, že je v ní obsažen spor

4.3. Jak funguje diferenciální počet

§ 5. Kritika základů, na nichž je vystavěna současná matematika

5.1. Dedekindovy řezy

5.2. Archimedova vlastnost

5.3. Supremum a infimum

5.4. Lesqueova míra

§ 6. Existuje nekonečno?

6.1. Chybný přístup matematiky k pojmu nekonečna

6.2. Odlišný přístup

Část II. : Calculus hypoteticus - Pomyslný počet

§ 1. Zavedení pomyslných čísel

1.1. Výchozí představy

1.2. Zavedení pomyslných čísel

1.3. Množina pomyslných čísel

§ 2. Má to nějaké použití?

2.1. Integrace funkcí Dirichletova typu

2.2. Obecné diskontinuum

2.3. Integrace funkcí dosahujících nekonečné hodnoty

Závěr

Rekapitulace

Část I. Kritika přístupu matematiky k pojmu nekonečna

§1. Vyjádření nedůvěry formální matematice a logice

...než když mne do nejzadnější regule, jenž Algebra neb Cosa

slove, uvésti chtěli, takových jsem tam jakýchsi divokých

klik a háků hromady uhlédal, že mne o málo závrat nepopadl

a zavra já oči, prosil jsem, aby mne odtud odvedli.

Jan Amos Komenský: Labyrint světa a ráj srdce, kap.IX, 8)

Mezi aritmetiky. (r. 1625)

1.1. Úvod

V pracích těch nejznámějších matematiků se objevuje podivná myšlenka. Je to představa, že lze vytvořit takovou soustavu znaků a pravidel manipulace s těmito znaky, která nám zaručí správnost všech matematických úvah.

Mějme nějakou matematickou teorii, která popíše –definuje- základní pojmy a pravidla podle kterých můžeme s těmito pojmy zacházet – specifická pro tuto teorii – a pravidla podle kterých můžeme s pojmy manipulovat platná všeobecně (říkejme jim pravidla logiky) ale aplikovaná na pojmy definované teorií. Příkladem této teorie jsou Eukleidovy Základy. Oněmi pravidly jsou Axiomy, povolené operace jsou definovány Postuláty a základní pojmy jsou vymezeny Základními výměry. Tato pravidla není možno z ničeho odvodit – jsou vypozorována ze zkušenosti – jsou to tedy axiomy. Pomocí těchto neodvoditelných pravidel jsou odvozována prohlášení o vlastnostech geometrických objektů, říkejme jim geometrické věty–například : čtverec nad přeponou pravoúhlého trojúhelníka se rovná součtu čtverců nad odvěsnami. Pro objekty a pravidla nejsou používány zvláštní symboly (znaky), ale celý proces je slovně popisován v jazyce toho kdo oněm hovoří – tedy na př. ve staré řečtině. Až potud je vše v pořádku. Problém nastane, pokud začneme pochybovat o správnosti postupu při odvozování těchto vět z původních „pravidel“. Odvozování se musí řídit opět nějakými pravidly a to jsou pravidla, podle kterých můžeme s pojmy manipulovat platná všeobecně (pravidla logiky). Prohlásíme tedy, že pokud jsou všechna pravidla aplikována správně, je výsledek správný. Kdo však zaručí, že pravidla jsou aplikována „správně“? Přece dobrá definice těchto pravidel a dobré označení – nejlépe nějakými nezaměnitelnými symboly. Formalizujeme tedy teorii, formalizujeme i logiku a máme vyhráno! Budeme používat formalizovaný jazyk a to nás ochrání před všemi chybami! Zde „končí“ uvažování matematiků a logiků a začíná víra ve všemocnost formalizace. Ačkoliv tito lidé dobře vědí, že nelze ona všemocná pravidla definovat pomocí teorie, ale opět v nějakém „metajazyce“, otázku, zda v tomto neformalizovaném metajazyce lze cokoliv dobře definovat si tito lidé, až na nepatrné výjimky nekladou. Z toho vyplývá následující závěr: žádná formalizace nemůže zaručit správnost dosažených výsledků jakékoliv teorie. Formalizace je dobrá jako mechanická nebo mnemotechnická pomůcka při logicko-matematických úvahách, avšak jiný význam nemá. Pokud formalizace nepomáhá paměti nebo „postřehu“ (tedy pokud není něco takového, jako například počitadlo nebo mechanické kalkulátory) její používání situaci spíše zhoršuje. Věřit, že nám dobré definice a formalizace logiky a matematiky zaručí správnost výsledků je jako věřit vyprávění barona Prášila o tom, jak se sám vytáhl z bažiny za vlasy.

1.2. Chyby v matematických knihách

Obtížnost matematických úvah, nepřesnost našich pojmů a přehnaná důvěra ve formální systémy vede k evidentním chybám, které se objevují ve spisech o matematice od poloviny 19. století do současné doby. Tyto chyby se týkají pojmu nekonečna. Matematické věty, které tento pojem používají, jsou v učebnicích matematiky někdy označovány jako „hluboké“. Já je však pokládám spíše za temné a jejich neprůhlednost jim dodává zdání „hloubky“. Systematická kritika je podána v další části tohoto pojednání.

1.3. Stručná a velmi nepřesná historie pojmu nekonečna.

...až se jeden našel, kterýž se písek mořský v počet

uvésti podvoloval a o tom hned knihu sepsal (Archimedes).

Jiný příkladem jeho (ale větší subtilnosti dokázati chtěje)

dal se v počítání v slunci létajícího prášku (Euklides).

Jan Amos Komenský: Labyrint světa a ráj srdce (1625)

Dějiny nám říkají, že s čísly a nekonečnem měli první problémy Pythagorejci. Hipasios byl podle pověsti utopen, když prozradil, že odmocninu ze dvou nelze vyjádřit zlomkem – pouze je možno se k této hodnotě postupným sčítáním konečných posloupností zlomků přibližovat. Archimedes „vyčerpával“ postupně kruh pomocí n-úhelníků. Domnívám se, že jsem někde četl jak Euklides dělil úsečku na poloviny, tyto opět na poloviny atd. Nemohu to však nikde znovu nalézt, abych se dozvěděl, zda to bylo „až do nekonečna“.(Je možné, že to byl Eudoxos). Pojem nekonečna byl diskutován ve středověku scholastiky (krásný a důkladný popis je možno nalézt v publikaci (7). Zásadní pokrok nastal po objevu diferenciálního počtu. Ještě předtím Galileo zjistil podivnou věc: počet „čtverců“ je stejný jako počet přirozených čísel. Bylo to pro něho tak nesmyslné, že se tím odmítl dále zabývat.

Jakmile Newton a Leibnitz objevili diferenciální počet, svět matematiků zůstal v šoku – ale užitečnost a výsledky tohoto počtu spolehlivě umlčely všechny kritiky postupů tímto počtem používaných. Jedním z velkých kritiků byl Berkeley. Jeho rozsáhlá, těžce srozumitelná, ale správná kritika zůstala bez odezvy a to především proto, že nenabídl žádné rozumné řešení, zatímco praktické výsledky diferenciálního počtu byly neoddiskutovatelné.

O tom jak se vyvíjel pojem nekonečna od r. 1700 viz na př.(7). Obtížnost tématu způsobila mnoho omylů a posléze se diskuse točily kolem problému, zda existuje „potenciální“ nebo též „aktuální“ nekonečno. Jaký je význam tohoto dělení o kterém dosti nepřesně mluví spousta vynikajících matematiků uvádím v další části těchto stránek.

V polovině 19. století – kromě Dedekinda, Cauchyho a ve své době opomíjeného Bernarda Bolzana – nastupuje Georg Cantor. Vytvořil svou fundamentální teorii a po přečtení práce Bernarda Bolzana „Paradoxien des unendliches“ vydané roku 1851 v Lipsku nabyl přesvědčení, že pojem takzvaného aktuálního nekonečna je správný, má své opodstatnění, a vytvořil teorii množin, která používá jím zavedená kardinální a ordinální čísla.

Teorie množin prošla různými peripetiemi, stala se z ní vysoce formalizovaná teorie a její výsledky jsou dnes uznávány jako základy veškeré matematiky.

1.4. Rekapitulace toho proč a jak pojem nekonečna vznikl a co tento pojem vlastně

znamená.

Nejprve matematici zjistili, že existují přirozená čísla něco, čím můžeme počítat na příklad ovce, stromy, jablka, metry (dříve třeba lokty), kilogramy atd. atd. – bez ohledu na to, že tyto ovce nebo stromy nejsou úplně stejné. Ostatně metry nebo kilogramy úplně stejné jsou (že ano?). Základem přirozených čísel je číslo „jedna“. Toto číslo můžeme přičítat k předchozímu počtu ( na příklad k číslu „jedna“ nebo jinému číslu, které označujeme „n“) a nejsme schopni stanovit hranici – takové číslo, ke kterému už jednotku přičíst nesmíme nebo nemůžeme. Na tomto místě je třeba upozornit na příčinu toho, proč se domníváme, že ke každému číslu je možno přidat jednotku (přičíst číslo „jedna“). Tou příčinou je to, že jsme zapomněli původní definici přirozeného čísla – to je, že určuje počet „něčeho“ – jablek, kilogramů, metrů atd. – a bez toho nemá smysl o nějakém čísle hovořit. Můžeme sice hovořit o počtu čísel (která určují počet jablek, kilogramů nebo metrů) – tedy při použití současného vyjadřování o číslech „bezrozměrných“. Ale to je pouhé zdání. Jejich rozměrem je právě číslo (určující vždy počet něčeho). Proto ve skutečnosti vždy přirozená čísla „dojdou“ – jsou vyčerpána tak, jak jsou vyčerpána všechna jablka, kilogramy nebo metry. Ale pokud na to zapomeneme – a to jsme přinuceni udělat, neboť nevíme, kolik těchto počítaných objektů vlastně je – potom nelze stanovit takové číslo, ke kterému nelze přidat jednotku. Abychom na tomto úskalí ve svých úvahách neztroskotali, musíme přijmout předpoklad, že jednotku lze přidat ke každému číslu. Jakmile na to přistoupíme, objeví se řada otázek.

Jestliže lze přidat jednotku ke každému číslu, musí existovat všechny možnosti – všechna čísla, která takto můžeme vytvořit. Opět dochází k nepostřehnutelné chybě: rozměrem počtu, udávajícího počet možností je přece „možnost“. Teprve po přijetí nikdy nesplněného předpokladu, že existují všechny možnosti, můžeme tvrdit, že existují všechna přirozená čísla.

Jestliže budeme „číslovat“ – počítat tyto možnosti, a to tak, že budeme přidávat jednotku k předchozímu číslu, které nazveme „n“, dostaneme vždy jen další přirozené číslo. Tímto číslováním nemůžeme vytvořit „všechna“ přirozená čísla. V tomto okamžiku vlastně ani nevíme, co pojem „všechna přirozená čísla“ znamená. A zde nastupuje nesmyslná diskuse matematiků 19. století založená na chybně zavedených pojmech „potenciálního“ a „aktuálního“ nekonečna.

Jedni tvrdili, že existuje pouze „potenciální“ nekonečno, zatímco jiní tvrdili, že na příklad množina přirozených čísel musí existovat takzvaně „aktuálně“. Přitom nikdo nedokázal tuto množinu spolehlivě definovat. Ke konci první poloviny devatenáctého století přišel Bernard Bolzano s určitým způsobem (dodnes přijímaným) definice této množiny. K definici nekonečné množiny použil jím vytvořeného pojmu „pravda o sobě“, který můžeme nahradit pojmem „pravdivá věta“. Vezmeme-li jakoukoliv pravdivou větu, kterou označíme A, potom věta „A je pravdivé“ je od věty A odlišná a můžeme ji označit jako B, větu „B je pravdivé“ můžeme označit jako C a tak stále bez konce. Souhrn všech těchto vět zahrnuje množinu, která je větší než jakákoliv konečná množina. Nezávisle na Bolzanovi použil ve stejné době podobnou definici Richard Dedekind a podobnou definici užívá současná teorie množin. Jako jednoduchý vzor zde uvedu obdobnou definici množiny všech přirozených čísel:

Existuje množina, ve které je číslo „1“ a pokud je zde číslo „n“ (což už je splněno tím, že v ní je číslo „1“) je zde i číslo (n+1). Tuto množinu budeme označovat písmenem „N“.

Vraťme se k rozdělování nekonečna na „potenciální“ a „aktuální“. Především nevíme, co matematik pojmem „potenciální nekonečno“ vlastně myslí. Nějak nejasně tušíme, že tím myslí, že lze sice přičíst ke každému číslu jednotku, ale nelze nikdy tímto způsobem získat všechna přirozená čísla. To by vedlo k závěru, že existují jen konečné posloupnosti přirozených čísel. To, že přičítáním jednotky nelze vytvořit všechna přirozená čísla je pravda. Avšak vyvozovat z toho, že neexistuje množina všech přirozených čísel je velký omyl. Pokud jsme již „zapomněli“, že číslo musí označovat počet něčeho a netrváme na tom, potom musí být možno přidat jednotku ke každému číslu, a proto musí existovat možnost vytvořit všechna čísla. A množina těchto čísel, které je možno vytvořit je „aktuálně“ nekonečná. V tomto bodě se často cituje výrok F. Gausse, z dopisu, který napsal matematikovi Schumacherovi a ve kterém kritizuje jeho způsob použití nekonečna ve výpočtech. Tato kritika je vykládána tak, že Gauss se zastává tak zvaného potenciálního nekonečna a zavrhuje nekonečno aktuální. Avšak při přečtení tohoto dopisu zjistíme (viz (7)), že se existence potenciálního nebo aktuálního nekonečna vůbec nedotýká. Je zde pouze kritizováno chybné použití pojmu nekonečna v důkazu. Jakákoliv diskuse o tom, zda existuje pouze potenciální nekonečno a neexistuje nekonečno aktuální nemá z hlediska toho, co bylo shora řečeno smysl.

Naskýtá se otázka, zda je užitečné a co vlastně znamená rozdělování nekonečna na potenciální a aktuální.

§2: Některé podivné jevy, které lze pozorovat na nekonečných množinách

2.1. Existuje nekonečná množina přirozených čísel, kterou nelze vytvořit

Vytvářejme postupně množiny přirozených čísel:

v prvním kroku množinu {1} označme ji M1

ve druhém kroku množinu {1,2} M2

ve třetím kroku množinu {1,2,3} M3

:

v n-tém kroku množinu {1,2,3, ..., n} Mn

v (n+1) kroku množinu {1,2,3,....,n,(n+1)} M(n+1)

:

Mějme takovou posloupnost kroků, ve které pokud je krok č.“n“ je v ní i krok č. (n+1).

V každém kroku je vytvořena množina čísel, která je konečná. Máme tedy nekonečnou množinu množin a jejími prvky jsou konečné množiny čísel. Tímto způsobem nelze vytvořit nekonečnou množinu přirozených čísel, neboť v každé množině Mn je pouze konečný počet přirozených čísel.

Název tohoto paragrafu je : „Některé podivné jevy, které lze pozorovat na nekonečných množinách“. Co je na tvrzení v tomto odstavci podivného? Podivné na něm je to, že pokud si tento odstavec přečte člověk, o němž můžeme předpokládat, že zná základy vyšší matematiky, nebo dokonce absolvent matematicko-fyzikální fakulty, prohlásí bez váhání, že tomu tak je a že tomu, co je zde uvedeno rozumí. Avšak několikrát jsem se přesvědčil, že uvedené skutečnosti nepronikly do jeho vědomí. A to je právě ten podivný jev, že popsané skutečnosti zůstávají ukryté v nevědomí takového člověka (říkejme mu podle vzoru reklam na prací prášky „běžný matematik“). Takovýto „běžný matematik“ se pokouší dostat tyto skutečnosti do vědomí buď pomocí řečí o aktuálním a potenciálním nekonečnu, které však nakonec situaci ještě více komplikují, nebo používat nějaký formalismus, který při dostatečné opatrnosti vede k bezchybným závěrům, nikoliv však k porozumění – evidenci skutečnosti ve vědomí.

Nezbývá proto nic jiného, než uvést celou řadu podobných příkladů a doufat, že při určitém úsilí se čtenáři podaří uvedené skutečnosti dostat do vědomí – zaevidovat.

2.2. Nekonečná množina přirozených čísel existuje, ale nelze ji vytvořit

Vytvářejme přirozená čísla: v prvním kroku vytvořme číslo 1

přidáním jednotky k číslu jedna vytvořme číslo 2

:

:

jestliže máme číslo „n“ vytvořme přidáním jednotky číslo (n+1)

:

V každém z těchto kroků je vytvořeno číslo, které má konečnou hodnotu – tedy nějaké přirozené číslo. Přidáním jednotky k přirozenému číslu dostaneme opět přirozené číslo. Po provedení kroku číslo „n“ je vytvořeno „n“ přirozených čísel. Nekonečná množina všech přirozených čísel by však mohla být vytvořena až posledním krokem, který neexistuje.

Neexistuje tedy takový krok, po jehož provedení jsou vytvořena všechna přirozená čísla.

Pokud však prohlásíme, že výše popsaná posloupnost kroků už byla uskutečněna (tedy už je uskutečněna posloupnost, ve které pokud je krok „n“ je v ní i krok (n+1)), potom tvrdíme, že je vytvořena množina, ve které jsou všechna přirozená čísla. Tedy je vytvořena množina, kterou nelze (jak bylo ukázáno o několik řádků výše) nějakou postupně vytvářenou posloupností kroků vytvořit. Jedná se zde o logický spor?

Tvrzením, že je vytvořena posloupnost kroků, ve které pokud je krok „n“ tak je i krok (n+1) jsme vlastně vyjádřili, že je vytvořena posloupnost, která nemohla být postupným prováděním kroků vytvořena. Použitím slova „vytvořena“ vznikl logicky zmatený výrok. Jediná cesta, jak zabránit zmatkům je důsledně vyloučit z vyjadřování o nekonečné množině přirozených čísel toto slovo a slova s podobným významem.

2.3. Postupným slučováním množin Mi nelze množinu přirozených čísel vytvořit

Slučujme postupně množiny Mi ( v pořadí svého číslování) do množin Ni

N1 = M1

N2 = M1 ∪ M2

:

Nn = M1 ∪ M2 ∪ ...... ∪ Mn

N(n+1) = M1 ∪ M2 ∪ ...... ∪ Mn +1

:

Řada těchto množin Ni je nekonečná. Neexistuje taková množina Ni, ve které by byla všechna přirozená čísla. Tímto slučováním nevytvoříme nekonečnou množinu přirozených čísel, pouze nekonečnou množinu konečných množin.

2.4. Nekonečnou množinu přirozených čísel lze slučováním množin Mi vytvořit .

Označme písmenem NN množinu, která vznikne sloučením všech množin Mi. Tedy množinu, do které je sloučena množina M1 a pokud je v ní sloučena množina Mn, je v ní sloučena i množina M(n+1). V množině NN jsou všechna přirozená čísla - tedy NN = N. Avšak nadpis tohoto paragrafu je chybný. Nekonečná množina nemůže být vytvořena slučováním, ale musíme předpokládat, že množina NN, ve které jsou sloučeny všechny množiny Mi již existuje. Opět se zde záludně vkradlo slovo „vytvořit“, které navozuje podvědomé očekávání toho, že pokud něco existuje, muselo to být vytvořeno a mohlo to být vytvořeno. To u nekonečných množin neplatí.

2.5. Postupným odebíráním čísel z množiny N nelze tuto množinu vyčerpat.

Mějme množinu přirozených čísel N.

Provádějme tyto kroky:

v prvním kroku odeberme z množiny č.1 - získáme množinu N / {1}

ve druhém kroku odeberme číslo 2 - získáme množinu N / {1,2}

:

v kroku „n“ odeberme číslo „n“ - získáme množinu N / {1,2,..n}

v kroku (n+1) odeberme číslo (n+1) - získáme množinu N / {1,2,..,n,n+1}

:

A opět mějme řadu kroků, ve které pokud je krok č. „n“ je i krok č. (n+1).V každém z těchto kroků zbývá v původní množině nekonečně mnoho přirozených čísel.

2.6. Odebráním všech přirozených čísel z množiny N získáme prázdnou množinu

Mějme nyní množinu přirozených čísel N, na které byl proveden krok č.1 z předchozího paragrafu, a pokud byl proveden krok „n“, byl proveden i krok (n+1). V této množině se nenachází žádné přirozené číslo. A protože tam jiná čísla než přirozená čísla nebyla, je tato množina prázdná. Avšak nadpis tohoto paragrafu je zavádějící. Jestliže jsme odebrali z nějaké množiny všechny její prvky, je samozřejmě množina prázdná. Avšak u nekonečné množiny nemohou být postupně odebrány všechny její prvky – můžeme mít pouze takovou množinu, ze které jsou již všechny prvky odebrány. V nadpise je však zdánlivě ponechána volnost výkladu, jak k „odebrání“ došlo. A to vede k mnoha omylům.

2.7. Postupným slučováním uzavřených intervalů délky (1/2)ⁿ nelze vytvořit

uzavřený interval délky 1

(Interval je určen svou délkou a polohou na číselné ose. Z toho důvodu je následující značení velmi pracné a nepřehledné. Proto je vhodnější grafické znázornění. Dosáhne se tak stejného výsledku méně pracným způsobem).

Mějme řadu uzavřených intervalů délky (1/2)ⁿ , ve které je interval [0,1/2] a pokud je zde interval [(2^n-1-1)/2ⁿ,(2ⁿ -1)/2ⁿ] je zde také interval [(2ⁿ-1)/2ⁿ⁺¹,(2ⁿ⁺¹-1)/2ⁿ⁺¹] Vytvářejme intervaly Ii postupným slučováním těchto intervalů :

I1 = [ 0, 1/2]

I2 = [0,1/2> ∪ [ ½,3/2²]

:

In = [0,1/2] ∪ [ ½,3/2²] ∪ ...... ∪ [(2^n-1-1)/2^n-1,(2ⁿ-1)/2ⁿ]

I(n+1)= [0,1/2] ∪ [½,3/2²] ∪ ...... ∪[(2^n-1-1)/2^n-1,(2ⁿ-1)/2ⁿ] ∪ [(2ⁿ-1)/2ⁿ,(2ⁿ⁺¹-1)/2ⁿ⁺¹]

:

Uvedené značení je velmi pracné a nepřehledné. Stejně přesné je grafické znázornění, ve kterém jsou použity uzavřené úsečky:

Mějme vytvořen tímto způsobem interval I1 a pokud je vytvořen interval In, je vytvořen také interval I(n+1). Máme tak vytvořenu nekonečnou množinu intervalů, jejímiž prvky jsou intervaly Ii. Každý z intervalů Ii se liší od intervalu [0,1] a to o zleva otevřený a zprava uzavřený interval délky 1/2ⁿ, pokud i=n

2.8. Interval délky 1 lze slučováním uzavřených intervalů délky (1/2)ⁿ vytvořit

Mějme interval I, ve kterém jsou sloučeny v předchozím paragrafu definované uzavřené intervaly délky (1/2)ⁿ tak, že pokud je zde sloučen interval délky (1/2)ⁿ, je zde také sloučen interval délky (1/2)ⁿ⁺¹. (V tomto případě jsem si od nepřehlednosti popisu pomohl tak, že jsem příslušný interval identifikoval jeho délkou a vzhledem k odkazu na předchozí popis by nemělo dojít k omylu při určování jeho polohy).

Interval I má délku 1. Avšak nadpis tohoto paragrafu je chybný. Interval I nemůžeme získat postupným slučováním, ale musíme předpokládat, že již jsou v něm všechny uvedené intervaly sloučeny – je již vytvořen.

2.9. Interval I definovaný vpředu je interval zprava otevřený

Jestliže máme v odst. 2.7 definovanou nekonečnou řadu uzavřených intervalů, není mezi nimi uzavřený interval, jehož délka je rovna jedné.(Každý interval má pravou hranici odlišnou od pravé hranice uzavřeného intervalu délky jedna). Proto ani v intervalu I, ve kterém jsou tyto intervaly sloučeny nemůže být pravá hranice intervalu délky jedna.

2.10. Nelze nalézt způsob, jak z uvedené nekonečné posloupnost uzavřených intervalů získat uzavřený interval [0,1].

Jestliže v žádném uzavřeném intervalu není číslo 1, nemůže být ani v intervalu, který je jejich sloučením.

2.11. „Potenciální nekonečno“ , „aktuální nekonečno“ a „podivné“ vlastnosti

nekonečných množin.

V odstavci 1. 4. je pojednáno o rozdělování nekonečna na potenciální a aktuální a o nejasnostech s těmito pojmy spojených. Úvahy a příklady v § 2. objasňují podrobněji jaký mají tyto pojmy význam a také to, že často nejsou správně používány. Pojem „aktuální nekonečno“ a „potenciální nekonečno“ zde však není nikde použit a to proto, aby se jeho nesprávným pochopením nedospělo k dalším nejasnostem a zmatkům. Tyto pojmy však mohou mít docela dobrý smysl, pokud se používají v souladu s pravidly vyplývajícími z příkladů a úvah § 2, avšak nemohou být používány jednoduchým způsobem. Především je nutno respektovat poznatek uvedený v odstavci 1. 4.: potenciální nekonečno nemůže existovat bez nekonečna aktuálního – jestliže na příklad můžeme ke každému přirozenému číslu přičíst jedničku a tato možnost není omezená, musí zde existovat aktuálně nekonečná množina takových možností. Pokusme se demonstrovat použití pojmů potenciálního a aktuálního nekonečna na příkladech z §2. Tak na příklad počet přirozených čísel v množinách Mi z odst. 2.1 můžeme označit za potenciálně nekonečný. To je však podmíněno existencí aktuálně nekonečného počtu těchto množin. Stejně tak můžeme označit hodnotu přirozených čísel vytvářených v jednotlivých krocích v odst. 2.2 za potenciálně nekonečnou, ale je to podmíněno tím, že existuje aktuálně nekonečná množina možností provádět tyto kroky. V těchto dvou příkladech je však určitý rozdíl. Zatímco v prvním případě je zvykem předpokládat též existenci aktuálně nekonečného množství přirozených čísel (existenci množiny všech přirozených čísel), ve druhém případě se o existenci aktuálně nekonečné hodnoty vůbec neuvažuje. V této souvislosti poznamenejme, že slovo „nekonečno“ je jednak zkratkou za výraz „nekonečné množství“ a jednak (což je matematiky důsledně opomíjeno) zkratkou za výraz „nekonečná hodnota“, kde slovem „hodnota“ myslíme obvykle určitou spojitou veličinu, jako je např. délka, síla, hmota, čas. Tedy něco, co má velikost. V předchozím příkladu bylo slovo „hodnota“ použito i pro přirozená čísla – tedy tak, jakoby každé přirozené číslo označovalo jednak množství (počet) a jednak velikost – tedy mělo hodnotu. Věta o tom, že je určité množství aktuálně nekonečné je použita jako (několikrát už zde uvedený) axiom teorie množin: existuje prázdná množina, a pokud existuje nějaká množina, existuje i množina, jejímž prvkem je tato vpředu zmíněná množina. Zkráceně: existuje nekonečná množina. Tato nekonečná množina je v matematice používána jako pomyslný symbol reprezentující nekonečné množství – nekonečný počet. Horší je to s aktuálně nekonečnou hodnotou. Hodnota přirozených čísel vytvořených v jednotlivých krocích v odst. 2.2 je „pouze“ potenciálně nekonečná a žádný pomyslný objekt, který by symbolizoval nekonečnou hodnotu, podobně jako nekonečná množina symbolizuje nekonečné množství není v teorii množin používán (neexistuje). Potřebnost takového pomyslného objektu v matematice si však vynutila jeho nedokonalou náhradu a tou je používání symbolu ležaté osmičky – znaku, který určitým nedokonalým způsobem symbolizuje nekonečnou hodnotu. Manipulace s tímto pomyslným objektem (symbolem) je pro jeho nedokonalost značně omezená. Spokojím se zde zatím pouze s konstatováním, že má docela dobrý smysl též věta: „hodnota funkce y = 1/(1-x) je v bodě x = 1 aktuálně nekonečná“. V této souvislosti je třeba si povšimnout toho, že původní stanovisko matematiky bylo, že v bodě x=1 není tato funkce vůbec definována, protože aktuálně nekonečná hodnota neexistuje – čímž bylo vlastně míněno, že číslo které má aktuálně nekonečnou hodnotu se nenachází mezi čísly, nazývanými čísla reálná. Posléze byl učiněn jakýsi ústupek tomuto ortodoxnímu stanovisku a množina takzvaných reálných čísel byla obohacena o znak nekonečna. To mne přivádí k další, ve filosofii matematiky dosti diskutované úvaze o existenci, lépe řečeno o způsobu existence oněch objektů o nichž zde mluvím. V předchozím textu jsem o těchto objektech mluvil (i když nepřímo) jako o existujících. Typickou větou z předchozího textu je věta: mějme nekonečnou množinu – která tedy nepřímo hovoří o existenci takové množiny. Ale taková množina je pomyslným objektem, který sice existuje, ale pouze v naší mysli (k tomu viz například Bolzano, Paradoxy nekonečna §15: Považuji nyní za dostatečně prokázané, že nekonečné množiny jsou alespoň mezi těmi věcmi, které nemají žádnou skutečnost.) Takovéto pomyslné objekty však existují pouze jako soubory pravidel, kterými se zacházení s těmito objekty řídí – jejich existence se neprojevuje jinak, než právě existencí těchto pravidel.

V tomto paragrafu je pojednáno o jakýchsi vlastnostech nekonečných množin, které jsem nazval podivnými. Je zde uvedena celá řada příkladů, ve kterých jsou tyto vlastnosti popisovány a na kterých se učíme porozumět, v čem tyto vlastnosti spočívají. Opakovaně řečeno – tyto podivné vlastnosti spočívají v tom, že předpokládáme existenci jakéhosi pomyslného objektu (nekonečné množiny), který ačkoliv existuje tak nemohl být jakýmkoliv postupem vytvořen. Tato vlastnost vytváří při úvahách o těchto množinách a snaze jim porozumět velké psychické vyčerpání. To se stalo osudným mnoha matematikům. Dobrým východiskem k porozumění může být proto představa nekonečné množiny jako pomyslného objektu, jehož vlastnosti jsou dány pomocí soustavy pravidel, podle kterých s tímto objektem zacházíme a jehož existence se neprojevuje jinak, než právě existencí těchto pravidel.

2.12. O užitečnosti pojmu limity. Supremum a infimum.

V matematice je definován pojem limity. Limita je definována jako hodnota, ke které se hodnoty čísel v určité nekonečná posloupnost čísel blíží, ale neexistuje číslo z této posloupnosti, které jí dosáhne. V matematice je však hojně používán tento trik : jestliže se hodnota nějaké posloupnosti může blížit k určitému číslu (limitě), musí toto číslo existovat. Takto jsou zavedena například iracionální čísla. V důsledku tohoto triku se však často ve vyjadřování matematiků přestává rozlišovat mezi hodnotami, kterých mohou čísla v určité (nekonečné) posloupnosti dosáhnout a mezi limitou, které tato čísla dle definice limity nikdy nedosáhnou. Limitou řady 1/2ⁿ je číslo 1. Ale žádný člen posloupnosti postupných součtů posloupnosti 1/2ⁿ nedosáhne této hodnoty. Značí-li však každý z těchto postupných součtů vzdálenost od levého bodu uzavřeného intervalu k pravému bodu uzavřeného intervalu, je tato vzdálenost rovna limitě postupných součtů a zároveň hodnotě postupného součtu při aktuálně nekonečném počtu prvků sčítané posloupnosti. Bohužel však hodnota limity (číslo 1) nám neumožňuje tvrdit, že v množině bodů patřících do postupných sjednocení těchto uzavřených intervalů je bod jehož vzdálenost od levého okraje prvního sjednocovaného intervalu je rovna jednotce To, že je pojem limity v matematice velmi užitečný je nepochybné. Limita je definována pro posloupnosti, jejichž prvky jsou čísla. Ale v teorii množin je používán analogický pojem pro posloupnosti, jejichž prvky jsou množiny. Je to pojem posloupnosti postupných sjednocení nebo průniků nekonečného počtu množin. Sjednocení (nebo průnik) nekonečného počtu číselných množin je ve své podstatě limitou posloupnosti postupných sjednocení nebo průniků a tato limita nepatří do této posloupnosti. Je otázkou, zda je možno definovat limitu jiných posloupností množin (než jsou postupná sjednocení) a (protože posloupnost množin je také množina) zda je možné definovat limitu posloupnosti posloupností. Pro množiny, jejichž prvky jsou čísla je definován pojem „supremum“ a „infimum“. Supremum množiny čísel je číslo, vyšší než všechna ostatní čísla, která patří do dané množiny a zároveň není vyšší než kterékoliv (vysoké) číslo, které do ní nepatří. Avšak pomocí tohoto pojmu můžeme ve spojení s pojmem nekonečné množiny nalézt v matematice jakési zvláštní jevy, obvykle označované jako paradoxy. Máme-li aktuálně nekonečný počet sloučených intervalů délky 1/2ⁿ , jejich délka se rovná limitě. Ale jestliže máme sloučený aktuálně nekonečný počet těchto intervalů, v takto získané množině bodů není bod 1.

§ 3. Paradoxy nekonečného množství

3.1. Jak lze očíslovat všechny body jednotkové úsečky

Rozdělme jednotkovou úsečku na nekonečný spočetný počet nepřekrývajících se intervalů. V těchto intervalech jsou všechny body této úsečky. Avšak každý z těchto intervalů musí mít šířku menší než jakýkoliv zlomek a proto v každém z těchto intervalů nemůže být obsaženo více bodů než jeden. Protože je možno všechny tyto intervaly zobrazit vzájemně jednoznačně na množinu přirozených čísel (počet intervalů je spočetný) a v každém intervalu je pouze jeden bod úsečky, je možno množinu všech bodů úsečky zobrazit vzájemně jednoznačně na množinu přirozených čísel. To je však ve sporu s Cantorovým důkazem.

Odkaz na další stránku

3.2. Jak lze očíslovat všechny nekonečné posloupnosti nul a jedniček

Mějme množinu, jejímiž prvky jsou všechny nekonečné posloupnosti nul a jedniček.

V prvním kroku rozdělme tuto množinu na dvě poloviny (dvě podmnožiny) tak, že v první polovině jsou posloupnosti, na jejichž prvním místě je nula a ve druhé polovině posloupnosti, na jejichž prvním místě je jednička. Získaným podmnožinám přiřaďme číslo jedna a dvě.

Ve druhém kroku rozdělme tyto dvě podmnožiny na dvě poloviny (na dvě podmnožiny) každou tak, že v první podmnožině je na druhém místě nula a ve druhé je na druhém místě jednička. Získaným podmnožinám přiřaďme číslo jedna, dvě, tři a čtyři.

Pokračujme obdobně v každém dalším kroku.

Mějme nyní množinu těchto kroků takovou, že je proveden krok č.1 a pokud je proveden krok č.“n“, potom je proveden i krok č. (n+1).

V každém kroku (jehož číslo je „n“) tak získáme 2ⁿ podmnožin. V každé z těchto podmnožin jsou všechny jejich prvky – nekonečné posloupnost nul a jedniček stejné na prvních „n“ místech.

Těchto podmnožin je nekonečné (spočetné) množství a v každé z těchto podmnožin je nekonečné množství prvků – (nekonečných řad nul a jedniček).

Každé této podmnožině lze přiřadit přirozené číslo. Podmnožiny lze totiž vzájemně jednoznačně přiřadit ke konečným posloupnostem nul a jedniček, které je charakterizují tím, že všechny nekonečné posloupnosti v nich obsažené jsou na konečném počtu míst – tady na těchto konečných posloupnostech - stejné (jsou na prvních „n“ místech stejné). Množinu všech konečných posloupností nul a jedniček lze očíslovat a tudíž lze očíslovat i uvedené podmnožiny. Předpokládejme proto, že v každém kroku bylo každé získané podmnožině přiděleno přirozené číslo.

Mějme nyní množinu nekonečných posloupností nul a jedniček, na které je proveden krok č.1 a pokud je proveden krok č.“n“, potom je proveden též krok č. (n+1). Na takto popsanou situaci se můžeme dívat ze dvou hledisek: buď tak, že mluvíme o nekonečné množině kroků – ale potom nenalezneme krok, ve kterém by byla uvedená množina rozdělena na nekonečný počet podmnožin, nebo tak, že mluvíme o uvedené množině rozdělené na nekonečný počet podmnožin. Avšak tuto množinu (ani jakoukoliv jinou nekonečnou množinu) nelze postupně prováděným rozdělováním rozdělit na nekonečný počet podmnožin, protože i když předpokládáme, že jsou provedeny všechny kroky, není mezi nimi takový krok, ve kterém je množina rozdělena na nekonečný počet podmnožin. Dostáváme se proto při používání obvyklého vyjadřování do sporu, neboť pokud hovoříme o množině, na které byl proveden nekonečný počet kroků (dělení), měla by být rozdělena na nekonečný počet podmnožin, ačkoliv nemohla být takto rozdělena v žádném z onoho nekonečného počtu kroků.

Musíme proto zvolit jiný způsob vyjadřování: Mějme rozdělenu nekonečnou množinu všech nekonečných posloupností nul a jedniček na nekonečný, ale spočetný počet podmnožin. Pokud se domníváme, že je možné aby takovéto rozdělení existovalo, potom vyslovme předpoklad, že pokud při rozdělení na „n“ podmnožin je možné do každé podmnožiny umístit nekonečné posloupnosti nul a jedniček stejné na „n“ místech, potom je možné nalézt i takové umístění všech nekonečných posloupností nul a jedniček v nekonečném (spočetném) počtu podmnožin takové, že v každé z těchto podmnožin jsou nekonečné posloupnosti nul a jedniček stejné na nekonečném počtu míst – tedy podle klasického matematického uvažování – v každé podmnožině jsou pouze nekonečné posloupnosti nul a jedniček stejné na všech místech. Obsahuje tudíž každá tato podmnožina pouze jednu nekonečnou řadu nul a jedniček. A protože podle klasického uvažování může být spočetná množina podmnožin očíslována, je také možno očíslovat všechny nekonečné posloupnosti nul a jedniček.

Nyní je nutno vyřešit otázku, zda jsou všechny tyto podmnožiny očíslované.

Předpokládejme, že očíslované nejsou. Přestože v každém z nekonečného množství kroků, které byly uskutečněny na množině nekonečných řad nul a jedniček byly očíslovány všechny podmnožiny, tak pokud jsou všechny tyto kroky uskutečněny, nejsou všechny podmnožiny očíslovány. Jestliže jsou však v každém provedeném kroku všechny podmnožiny očíslovány a pokud jsou provedeny všechny kroky, tak všechny získané podmnožiny očíslovány nejsou, musel být mezi všemi těmito kroky proveden krok, ve kterém vznikly neočíslované podmnožiny a který nelze označit obvyklým způsobem slovem „každý“.

Takový krok však nemůže existovat. Musel by být na nekonečném a tudíž neexistujícím místě.

Předpokládejme, že očíslované jsou. Potom máme očíslovány všechny nekonečné posloupnost nul a jedniček.

Lehce však dokážeme pomocí Cantorova uhlopříčkového důkazu, že lze nalézt mezi všemi očíslovanými řadami nul a jedniček řadu, která není očíslována.

Předpoklad, že všechny uvedené podmnožiny očíslovány nejsou, vede ke sporu a předpoklad, že očíslovány jsou, vede rovněž ke sporu.

Je možné, že v provedených úvahách je nějaká chyba – je definován „úkon“, který nelze provést a možnost jeho provedení je tudíž nutno „zakázat“. Jsem však přesvědčen, že všechny popsané úvahy a „úkony“ jsou běžně prováděny v matematice a teorii množin a musíme je z hlediska těchto věd považovat za správné.

Tvrdím, že spor je obsažen již ve větě „existuje nekonečná množina“. Tedy přesně řečeno ve větě

„existuje množina, ve které je číslo jedna a pokud je zde číslo „n“ je zde i číslo (n+1)

Tato věta je sporná sama se sebou, podobně jako známá věta „existuje kulatý kruh“. Vím jistě, že by bylo možno existenci „kulatého kruhu“ vhodným způsobem obhájit. Po tom však není v matematice poptávka. Avšak poptávka po obhájení existence nekonečné množiny je velice silná. Na této existenci závisí podle mínění mnoha matematiků existence matematiky, a proto musí nekonečná množina „existovat“ stůj co stůj. Všechny námitky jsou jako neužitečné a hlavně nebezpečné zatlačeny do nevědomí. Avšak zbytečně.

3.3. Přímá konfrontace Cantorova uhlopříčkového důkazu s tvrzením v odst. 3.2.

V § 3. 2. jsem uvedl způsob, jak lze očíslovat všechny nekonečné posloupnosti nul a jedniček. Avšak Cantorův důkaz tvrdí, že po provedení tohoto očíslování nalezneme na úhlopříčce posloupnost, jejíž, negativ není v očíslovaných posloupnostech: liší se od posloupnosti č.1 na prvním místě, od posloupnosti č.2 na druhém místě a od posloupnosti č. „n“ na n-tém místě. A protože přirozených čísel (jimiž jsme očíslovali uvedené posloupnosti) je nekonečně mnoho a jsou všechna, liší se negativ posloupnosti na úhlopříčce od všech očíslovaných posloupností. Tento důkaz platí pro jakkoliv očíslované (seřazené) posloupnosti. Seřaďme však uvedené posloupnosti tak, jak je uvedeno na počátku § 3.3. Potom můžeme sice ukázat, že posloupnost C se liší na n-tém místě od posloupnosti číslo „n“, ale zároveň můžeme ukázat, že je posloupnost C stejná s jednou z posloupností číslo 2ⁿ až 2ⁿ – 1 a to na místech 1 až „n“. Nyní se můžeme přít, které tvrzení má větší váhu : Tvrzení, že posloupnost C se liší od očíslované posloupnosti číslo „n“ i (n+1) (tedy „v limitě“ se C liší od všech posloupností) a nebo tvrzení, že posloupnost C je stejná s jednou posloupností číslo 2 na n-tou až 2 na n-tou minus jedna na prvních „n“ místech, při čemž samozřejmě toto druhé tvrzení platí pro každé „n“ (pokud platí pro číslo „n“, platí i pro číslo (n+1)), tedy „v limitě“ je C stejná s jednou očíslovanou posloupností na všech místech. Ale pozor! Tato posloupnost se nachází až ve skupině, ve které je nekonečně mnoho posloupností stejných na všech místech (tedy ve skupině., která samozřejmě v řadě očíslovaných posloupností neexistuje, ale která je její limitou!). Ještě jinak řečeno ve skupině 2ⁿ až 2ⁿ -1, kde „n“ je nekonečné číslo.(Je tedy očíslována jedním z nekonečných, tedy „neexistujících“ přirozených čísel). Mysleme si však, že máme takovou množinu nekonečných posloupností nul jedniček, na které pokud byl proveden krok „n“ (popsaný v §3. 3.) tak byl také proveden krok (n+1). Uvedená množina je tak rozdělena na nekonečně spočetně mnoho podmnožin a v každé této podmnožině jsou pouze posloupnosti stejné na všech místech. Protože těchto podmnožin je spočetně nekonečně mnoho, je možno je očíslovat. A protože v každé z těchto podmnožin jsou pouze posloupnosti stejné na všech místech, je tedy v každé očíslované podmnožině pouze jedna tato posloupnost. Zároveň jsou v těchto podmnožinách všechny posloupnosti. Je tedy množina všech nekonečných posloupností nul a jedniček očíslována přirozenými čísly. Dostáváme tak dvě vzájemně si odporující tvrzení. Více pro objasnění Cantorova důkazu nespočetnosti asi již nemohu udělat. Snad jen poznamenám, že obě tvrzení v limitě divergují – jsou v limitě obě pravdivá, ačkoliv může být pravdivé jen jedno. Tedy že i Cantorův důkaz je založen na limitě, což nám při běžném pozorování uniká.

Snad je ještě možno ozřejmit, že v úvahu přicházejí tyto dvě věty:

a) Posloupnost „C“ není stejné s očíslovanou posloupností „n“ a ani s posloupností (n+1).

b) Posloupnost „C“ je stejná  s jednou očíslovanou posloupností na prvních „n“ místech a s jinou na prvních (n+1) místech.

Ještě jinak: Cantorova posloupnost (nul a jedniček) je limitou vpředu uvedeným způsobem očíslovaných nekonečných posloupností nul a jedniček – přesněji řečeno,(protože neočíslovaných posloupností může být nalezeno více než jedna) je jednou z limit, které je možno vytvořit z takto očíslovaných posloupností nul a jedniček. A protože limita posloupnosti není rovna žádnému členu posloupnosti, ani Cantorova posloupnost není rovna žádné z očíslovaných posloupností. Ale stejně tak je rozdělení množiny všech posloupností nul a jedniček na spočetně nekonečně mnoho podmnožin limitou postupných dělení. A takto definované limity se liší, pokud jde o „spočetnost“, ačkoliv by měly být stejné. Poznámka: musíme mít na paměti, že mluvíme o limitě posloupnosti, jejíž členy jsou posloupnosti – o limitě posloupnosti posloupností – a touto limitou je Cantorova posloupnost a ve druhém případě o limitě posloupnosti podmnožin, na které je množina posloupností nul a jedniček rozdělena.

§ 4. Rozbor uvedených rozporů

Matematické teorii založené na soustavě výchozích tvrzení (axiomů) nemohou být plně bezesporné. Každá taková teorie je zjednodušením skutečnosti tak, aby bylo možno tuto zjednodušenou skutečnost uchopit rozumem ale také tak, aby výsledky našeho uvažování se ve většině případů nedostávaly do rozporu s pozorováním skutečnosti. Ale právě pro toto zjednodušení tomu tak nemůže být ve všech případech. Vždy se v každé takové teorii musí nalézt případy, kdy dostáváme falešné – vzájemně si odporující- výsledky. Jediným řešením, které zajistí úspěšnost takovéto teorie je určité postupy vedoucí ke sporným výsledkům v teorii zakázat. Takový zákaz však nemá žádný jiný důvod, než právě to, že zakázané postupy vedou ke sporným výsledkům. Nejjednodušším příkladem takového zákazu je zákaz dělení nulou. Složitějším případem jsou v matematice „zakázané limitní přechody“. Jak bylo v předchozí větě naznačeno, určité postupy, které jsou v teorii povolené jsou v určitých případech zakázané a tento postup je považován za správný. To však nic nemění na tom, že můžeme hledat a pravděpodobně i nalézat jiné teorie, které dokážou vyřešit problémy, jejichž řešení je v dosavadních teoriích zakázané. Ale žádná teorie (jak bylo řečeno v úvodu) se všem sporům nedokáže vyhnout a musí si proto vytvořit jiné zákazy. Důležité však je, aby nová teorie uměla řešit problémy, které neumí řešit teorie předchozí.

4.1. Co znamená věta „existuje nekonečná množina“

Věta existuje nekonečná množina říká, že existuje množina, která při seřazení svých prvků za sebou jakýmkoliv způsobem nemá poslední prvek a přesto je celá – každý z prvků, o kterých se domníváme (o kterých dokážeme prohlásit), že by v ní měly být v ní také je. To, že by v této množině, pokud ji prohlásíme za existující měl být vždy také poslední prvek je možno dokázat pouze nepřímým způsobem tak, že předpoklad neexistence posledního prvku v množině vede vždy ke sporu. Jiná formulace : Věta „existuje nekonečná množina“ říká : „existuje nedokončené“ , případně „je hotové nedokončené“ , případně „je dokončené nedokončené“. Šikovným způsobem je možno se tomuto sporu vyhýbat. Je to pouze otázka psychologie, kdy naše vroucí přání, aby fungovala užitečná matematika spolu s vroucím přáním aby tato matematika byla naprosto jistá a přesná vede k zatlačení jistých evidentních skutečností do matematického nevědomí.

4.2. Jak to, že matematika funguje, přesto, že je v ní obsažen spor

V matematice je mnoho omylů a mýtů, kterým všichni věří. Takovým omylem je i představa logiků, kterou do matematiky a logiky zavedl Russel o logické funkci implikace. Tvrdí naprosto nepochopitelně, že při nepravdivosti podmínky v tomto výroku je výsledný výrok pravdivý a nepravdivý Avšak skutečnost je taková, že výsledný výrok je buď pravdivý, nebo (jedná se o „ostré nebo“) nepravdivý. Implikace pravdivost výsledného výroku v případě nepravdivosti podmínky neurčuje. Přesně řečeno – pouze neurčuje – avšak nelze z ní vyvodit, že pravdivé jsou oba protikladné výsledné výroky.

Avšak přesto existují případy, kdy lze jedním postupem pomocí implikace odvodit pravdivost výsledného výroku a jiným postupem pomocí implikace odvodit jeho nepravdivost – ale pouze tehdy, vycházíme – li z toho že v prvním případě je podmínka v implikaci pravdivá a ve druhém případě, že je tato stejná podmínka nikoliv nepravdivá,(takovéto označení by vedlo k dalším zmatků,) ale opačná k podmínce z prvního případu. Avšak i v tomto případě musí být skutečnosti, na které se podmínka a závěr výroku vztahuje totožné. Nelze tedy „dokázat“ že pokud mám domácí úkol, tak jsem papež ani v případě, že domácí úkol nemám, neboť skutečnost vypovídající o existenci domácího úkolu se nijak netýká skutečné totožnosti určité osoby.

Co lze dokázat je pouze to, že při pravdivosti věty „mám domácí úkol“ domácí úkol mám a platí všechny důsledky této skutečnosti a při pravdivosti věty „nemám domácí úkol“ domácí úkol nemám a platí všechny důsledky této skutečnost – které jsou samozřejmě protikladné k důsledkům předchozím.

Tak lze v matematice zcela dobře vytvořit soustavu bezrozporných výsledků, pokud se uchráníme tvrzení, které se týká jedné a téže skutečnosti jednou prohlásit za „takové“ a podruhé za „makové“ – tedy za protikladné. A to se přesně stalo v případě věty „existuje nekonečná množina“. Veškeré heroické úsilí matematiků je kličkováním mezi dvěma úskalími výroku „existuje“ a výroku „není to hotové“. Mnohým se zdá, že se to dosud vždy povedlo. Někteří však vidí to, co viděl už John Berkeley a mluví o „třetí krizi v matematice“, případně se pokoušejí o vytvoření „nestandartní“ teorie množin.

4.3. Jak funguje diferenciální počet

Představa, že diferenciální počet může fungovat pouze tak, že učiníme veličiny ∆x nulové je scestná.

Stejných výsledků se dobereme i tím způsobem, že tyto veličiny považujeme za konečné – ale zbavíme se základní a důležité jednoduchosti výpočtů. Stejně tak i výsledek bude správný, ale zbytečně „neurčitý“, neboť za ono konečné číslo ∆x můžeme považovat celou škálu čísel. Výsledek se tak bude pohybovat v určitém „rozmezí“ avšak důležité je to, že při použitých rovnicích můžeme toto rozmezí neustále zmenšovat. Současně jsme skálopevně přesvědčeni, že to, co popisují příslušné diferenciální rovnice je absolutně přesné a netrpí žádnou neurčitostí – tedy že můžeme za ono ∆x dosadit nulu. Tato představa však není nikdy splněna.

§ 5. Kritika základů, na nichž je vystavěna současná matematika

Poznámka:

Jestliže kritizuji matematiku, musím odkazovat na tvrzení vyskytující se v pracích jednotlivých uznávaných matematiků. Protože není v mých silách v mém věku nastudovat práce zakladatelů v současné době uznávané matematické teorie, musím se zaměřit na publikace (většinou učebnice) běžně dostupné, s jejichž obsahem jsem se seznámil v dobách studia.

5.1. Dedekindovy řezy

Akademik Vojtěch Jarník popisuje v publikaci (1K) zavedení iracionálních čísel takto (zkráceno a u slova „číslo“ vždy doplněno (racionální)):

§4. Definice řezu….

Definice 1. Dvojici A, B množin číselných (množin racionálních čísel) nazveme řezem, jsou-li splněny tyto podmínky:

I. Žádná z obou množin není prázdná.

II. Každé (racionální) číslo leží v jedné a jen v jedné z množin A, B.

III. Je-li a patří do A, b patří do B, je a < b.

………

A dále udává konkrétní příklady řezů tak, že množiny A, B určí pomocí nějakého reálného!! čísla (např. v množině B jsou všechna čísla větší než určité reálné číslo).

Rozlišuje čtyři případy, podle toho, zda množina A obsahuje největší a množina B nejmenší (racionální) číslo:

1. Množina A obsahuje největší (racionální) číslo, množina B neobsahuje nejmenší (racionální) číslo. Takovým řezům říká „řezy 1.druhu“.

2. Množina A neobsahuje největší (racionální) číslo, množina B obsahuje nejmenší (racionální) číslo – „řez 2. druhu“.

3. Množina A neobsahuje největší (racionální) číslo, množina B neobsahuje nejmenší (racionální) číslo – „řez 3.druhu“.

4. Množina A obsahuje největší (racionální) číslo, množina B obsahuje nejmenší (racionální) číslo – „řez 4. druhu“.

Dokazuje, že řezy 4. druhu neexistují. Dále ukazuje, že řezy 1. druhu a řezy 2. druhu jsou přiřazeny číslům racionálním (každému racionálnímu číslu je přiřazen jeden řez 1. druhu a jeden řez 2. druhu). Dokazuje větu:

Věta 35. Existuje aspoň jeden řez 3. druhu.

…………….

Zavádí v §5.(str.38) uspořádání řezů pomocí definice 2.:

Definice 2.

Buďte α = (A/B), α´= (Á/B´) řezy 1. nebo 3. druhu. Existuje-li číslo, jež patří do Á a současně do B, říkáme, že řez α´ je větší než α a vyznačujeme to znakem α´ > α.

a dokazuje na str. 39 tuto větu:

Věta 11* Jsou-li α =(A/B), α´= (Á/B´) řezy 1. nebo 3. druhu, potom platí jeden a jen jeden z těchto tří vztahů: buďto je α= α´ nebo je α´> α nebo je α > α´.

Důkaz uvedený v této publikaci však spočívá na hlubokém omylu a výše uvedenou větu nelze tímto způsobem dokázat. Důkaz je založen na definici 2 ze strany 38. Ale Dedekindovy řezy jsou definovány na racionálních číslech. Správné znění definice 2. je tedy: Existuje-li racionální číslo, jež patří do Á a současně do B, říkáme, že řez α´ > α. Jelikož definice 2. je vyslovena jako implikace, víme pouze, že pokud existuje zlomek, který patří do A´ i do B potom je α´ > α. Proto nevíme, co nastane v případě, že α´ > α. Je zde totiž stále otevřená možnost, že takový zlomek (který patří do A´ i do B) neexistuje.

Chyba, které se autor dopouští, je zřejmá hned z první věty důkazu : „Vzpomeňme, že podle definice 2 vztah α´ > α značí, že existuje číslo z A´, jež patří do B, tj. jež nepatří do A“. Správně řečeno : existuje racionální číslo z A´, jež patří do B, tj. nepatří do A. Avšak to není pravda, neboť definice 2. je vyjádřena jako implikace. Proto z této definice první věta důkazu nevyplývá. Aby tomu tak bylo, musela by být definice 2. ekvivalence. Avšak nic proti tomu – tuto definici můžeme vyslovit jako ekvivalenci. Z toho je vidět, že autor má pravdu, když na straně 39 říká, že tato definice byla zvolena zcela svobodně. Je zde jen otázka názvosloví – zda je definice 2. opravdu pouze definicí, nebo je nedokazatelným tvrzením, které je položeno do základů teorie – tedy axiomem.

Závěr: do základů teorie můžeme položit definici 2. jako implikaci nebo jako ekvivalenci. Jestliže však vyslovíme tuto definici jako implikaci, nelze z ní dokázat větu 11*. Věta 11* je potom nedokazatelné tvrzení. Avšak v tomto případě nemáme žádnou možnost určit, co znaky α´ > α , α = α, α > α´ znamenají. Máme však možnost definovat jejich význam. Teprve po takovéto definici můžeme pokládat řezy α, α´ za „čísla“.

Do základů teorie reálných čísel je tedy ve skutečnosti položena definice 2. v tomto znění:

Definice 2E. (definice 2. jako ekvivalence):

Buďte α = (A/B), α´= (Á/B´) řezy 1. nebo 3. druhu. Existuje-li číslo, jež patří do Á a současně do B, říkáme, že řez α´ je větší než α a vyznačujeme to znakem α´ > α a jestliže řez α´ je větší než α, potom existuje racionální číslo, jež patří do A´ a současně do B. Reálná čísla tímto způsobem získaná splňují axiom o supremu a infimu.

5.2. Archimedova vlastnost

Archimedovu vlastnost reálných čísel je vlastnost reálného čísla a > 0 dosáhnout po vynásobení

nějakým přirozeným číslem „n“ hodnoty vyšší než dané reálné číslo „b“.

Archimedova vlastnost je tedy vlastností dvou čísel „a“ a „b“ a přirozeného čísla „n“. V mnoha publikacích je při důkazu toho, že tuto vlastnost čísla „a“ a „b“ mají opomenuto zdůraznit, že obě čísla jsou prvky Re. Důkaz je prováděn pomocí rovnice a*n > b, tudíž pokud by tato rovnice neplatila muselo by být a*n ≤ b pro každé „n“. Potom by pro každé „n“ platilo n ≤ b/a – tedy množina přirozených čísel by byla shora omezená (což je spor). Jedná se o typický důkaz kruhem, který předpokládá to, co teprve má být dokázáno. Předpokládá, že obě čísla už mají Archimedovu vlastnost. Pokud by však číslo „a“ před zahájením dokazování tuto vlastnost nemělo, b/a by bylo takové číslo, které je větší než každé přirozené číslo. Potom by množina přirozených čísel mohla být shora omezená. Avšak potom by alespoň jedno z obou čísel nebylo prvkem Re, což znamená, že by nebylo prvkem množiny čísel vytvořených Dedekindovými řezy pomocí definice 2E (definice 2. jako ekvivalence). Archimedova vlastnost číselné množiny vyplývá z axiomu o supremu a infimu, a to tak, že axiom o supremu a infimu určuje, jakým způsobem byla tato množina vytvořena.

Pokud jsou obě čísla prvkem Re, je uvedený důkaz správný. Je však zajímavé podívat se, proč tomu tak je:

Archimedovu vlastnost má každé přirozené číslo. (Má ji číslo 1 a také každé číslo větší než 1).

Dále je třeba ukázat, že tuto vlastnost má každý (pravý) zlomek: Zlomek p/q tuto vlastnost má, neboť ji má zlomek 1/q. Stačí nalézt číslo n₁ > b a zlomek 1/q vynásobit číslem q*n₁.

Dále je třeba ukázat, proč tuto vlastnost má i každé reálné číslo menší než 1: Jak jsou reálná čísla definována? Je třeba si uvědomit, že jsou to čísla, která vznikla pomocí početních operací +,-,*,/ , >, =, jejich kombinacemi a inversemi těchto kombinací a některá z nich jako limity konvergentních posloupností racionálních čísel. Například „klasické“ iracionální číslo √2 vzniklo jako výsledek inverzní operace „čtverec“ (násobení určitého čísla sebou samým) provedené na čísle 2. Vyjádřit toto číslo však umíme pouze jako limitu určité konvergentní posloupnosti. Číslo x^√2 je tedy nutně výsledkem nejen určité kombinace početních operací, ale k jeho definici musíme použít definici limity. Důležitá vlastnost takto vytvořených iracionálních čísel – porovnatelnost jejich velikosti- je však definována pomocí Dedekindových řezů a to vpředu uvedenou definicí 2E. , tedy definicí 2. vyjádřené jako ekvivalence. Definice Dedekindových řezů na racionálních číslech implicitně předpokládá, že existují i jiná čísla, než čísla racionální (a ta vznikla způsobem výše popsaným). Jinak by nemohly „existovat“ řezy 3. druhu. Definice 2E. nám určuje, co znamená výraz α´ > α (α , α´ jsou řezy). Tento výraz znamená, že existuje racionální číslo ze spodní skupiny řezu α´, které je rovno nějakému (racionálnímu) číslu z horní skupiny řezu α. Takže pomyslné (iracionální) číslo, díky němuž může vzniknout řez α´ 3.druhu a které je z definice větší než všechna racionální čísla z dolní skupiny řezu α´ musí být větší než nějaký zlomek z horní skupiny řezu α . Jestliže α = 0 potom je každé toto pomyslné číslo větší než nějaký kladný zlomek. A z toho už plyne , že má Archimedovu vlastnost. Tedy každé pomyslné iracionální číslo větší než nula má Archimedovu vlastnost. Tato skutečnost však vyplývá z toho, že do základů teorie je položena definice 2. jako ekvivalence.

5.3. Supremum a infimum

Věta o supremu (nebo infimu, dále jen axiom S-I) je uváděna jako poslední (třináctý) axiom vymezující obor reálných čísel. Matematici prohlašují, že znění tohoto axiomu zaručuje, že obor reálných čísel je úplné uspořádané těleso. Nikde se nedefinuje, vzhledem k čemu je toto těleso úplné. Zmatek je zvýšen i tím, že se používají dvě odlišná znění věty o supremu (a infimu). Použijme jednodušší znění : Každá neprázdná shora omezená množina A která je podmnožinou Re má v Re supremum. Supremum je nejmenší horní uzávěr nějaké číselné množiny (least upper bound).

Podívejme se, co toto prohlášení ( že znění axiomu zaručuje, že Re je úplné uspořádané těleso) vlastně znamená a to pomocí příkladů :

Příklad 1: Tvrdím: každá neprázdná omezená množina A, která je podmnožinou množiny přirozených čísel má v množině přirozených čísel supremum (nejmenší horní uzávěr).

Žádné číslo ve shora omezené množině přirozených čísel není větší než maximální číslo této množiny.

Přesto, že je tato věta pravdivá, nedokazuje, že neexistují jiná čísla než čísla přirozená.

Příklad 2: Tvrdím : Každá neprázdná omezená množina A, která je podmnožinou množiny racionálních čísel má v množině racionálních čísel supremum (nejmenší horní uzávěr).

Omezení množiny A musí být udáno nějakým předpisem. Pokud tento předpis použije jiných čísel než racionálních, (např. A < √2), potom toto tvrzení není pravdivé. Pokud však tento předpis použije pouze racionální čísla, potom je tvrzení pravdivé. Ale neplyne z něj, že neexistují jiná čísla než racionální.

Prohlášení o tom, že axiom o supremu a infimu zaručuje, že Re je úplné uspořádané těleso není možno pokládat za tvrzení, které má nějaký smysl. Úplnost tělesa musí být definována vzhledem k tomu, jaké operace je možno k vytváření množiny čísel použít. Pokud použijeme nějaké další operace, kromě operací, které jsou povolené vzhledem k platnosti axiomu S-I, potom vzniknou nová čísla, která nepatří do množiny reálných čísel. Vzhledem k těmto novým operacím není množina reálných čísel úplná.

Závěr: Ve větě o supremu (nebo infimu) se předpokládá, že k omezení množiny A nebudou použita jiná čísla než čísla reálná. Proto je tato věta pouhá tautologie a nikterak z ní nevyplývá, že neexistují jiná čísla než čísla reálná. To, že je obor reálných čísel úplné uspořádané těleso vyplývá z toho, že jsme definovali pouze takové operace, jejichž výsledkem jsou určité pomyslné objekty, které nazýváme reálná čísla a z toho, že to, co nazýváme reálnými čísly jsou jen a jen výsledky těchto operací :

1) Veškeré operace +, -, *, / , > , = , kombinace těchto operací a jejich inversní operace.

2) Operaci „ limity konvergentních posloupností“ ( tedy i takové limity, jejichž výsledkem nejsou čísla

vytvořená operacemi uvedenými pod bodem 1).

3) Na všech objektech definovaných těmito operacemi je definována relace uspořádání pomocí definice 2E. (definice 2. jako ekvivalence) určující vlastnosti Dedekindových řezů.

Pokud je věta S-I použita jako axiom potom relace uspořádání musí být definována dle bodu 3), a tímto způsobem je vymezen obor čísel, kterým říkáme čísla reálná. Rčení, že obor reálných čísel je úplný znamená pouze to, že do tohoto oboru patří ta čísla, která do něho patří. Což je pravda. Vlastnost „úplnosti“ je vlastností množiny operací, kterými jsou vytvářena čísla. Existuje určitá maximální množina těchto operací, která ještě zachovává platnost axiomu S-I a číslům, která jsou vytvořena touto množinou říkáme reálná čísla. Tuto maximální množinu operací sice můžeme nazvat úplnou, ale množinu čísel, která je pomocí těchto operací vytvořena nazývat úplnou je značně zavádějící.

O číslech odpovídajících bodu 1 až 3 se dá dokázat, že mají Archimedovu vlastnost. Pokud definujeme relaci uspořádání pomocí definice 2.I (definice 2. jako implikace) můžeme podle bodů 1 a 2 vytvořit nějaké pomyslné objekty , které nazveme čísla, ale které nesplňují axiom S-I a které Archimedovu vlastnost nemají. Potom ovšem ještě musíme relaci uspořádání na těchto objektech upřesnit.

5.4. Lesqueova míra

Na vlastnostech Lebesque-ovy míry mně vadí to, že dvě množiny, které mají stejnou mohutnost mohou mít různou „míru“. Konkrétně dvě množiny bodů – Cantorovo diskontinuum typu 1/3ⁿ a diskontinuum typu 1/2ⁿ mají rozdílnou míru – nula a jedna polovina- ačkoliv mají tyto množiny obě mohutnost alef jedna. Také mně připadá logicky nedokonalé až sporné předpokládat, že množina bodů, z nichž každý má míru nula může mít míru větší než nula.

§ 6. Existuje nekonečno?

6.1. Chybný přístup matematiky k pojmu nekonečna

Jak je vidět z celého předchozího textu, v názorech současných matematiků na pojem nekonečna je celá řada rozporů, nejasností a tvrzení založených na chybných předpokladech, jimž však matematikové všeobecně věří. Základní chyba, které se matematika dopouští je ta, které se matematika naštěstí vyvarovala při vytváření komplexních čísel. V učebnicích pojednávajících o komplexních číslech nelze nalézt hned v úvodu tvrzení : „existuje druhá odmocnina z minus jedné“. Naopak se často zdůrazňuje, že takto se nedá postupovat. Nejprve je třeba označit určitý pomyslný objekt symbolem „i“ a definovat operace, které s tímto objektem můžeme provádět. (Jak to udělat? Tak, „jako kdyby“ symbol „i“ zastupoval výraz „druhá odmocnina z minus jedné“). Ale bohužel v základech teorie množin je jako jeden z prvních axiomů uvedeno tvrzení : „existuje nekonečná množina“. Stejně tak je zde uvedeno další tvrzení :“ke každé množině existuje potenční množina“. Tento postup je od základu chybný. Není možno postupovat jinak, než je tomu u komplexních čísel. Je nutno nejprve označit určitý pomyslný objekt symbolem „N“ a definovat operace, které s tímto objektem lze provádět. Jak to udělat? Tak, jako kdyby symbol „N“ zastupoval výraz „ nekonečná množina“. Protože však tento pojem není dobře definovaný, máme samozřejmě značnou volnost v definování takových operací. Jediné, čeho se můžeme držet je to, aby tyto operace (definice těchto operací) nevedly k vzájemně protikladným výsledkům – rozporům. Jestliže se nám podaří vytvořit určitý relativně bezesporný soubor takových operací, můžeme nekonečnou množinu definovat jako pomyslný objekt, se kterým tyto operace provádíme.

6.2. Odlišný přístup

Předchozí úvahy ukazují, že je možné vytvořit různé systémy pravidel, podle kterých provádíme operace s pomyslným objektem zastupujícím výraz „nekonečná množina“. O některých vlastnostech jednoho z těchto systémů, který je používán v současné matematice pojednávají předchozí úvahy. Nabízí se však možnost vytvořit odlišný systém pravidel a zkoumat jeho užitečnost při provádění výpočtů. V odst. 4. 3. je vysloven názor, že diferenciální počet by dával stejně dobré výsledky bez předpokladu, že Δ x se rovná nule, avšak výpočty by byly poněkud pracnější. Zároveň by bylo ponecháno na vůli toho, kdo výpočet provádí, čemu se vlastně Δx rovná – přesně řečeno jak malé musí Δx být, abychom daný výpočet ohodnotili jako dostatečně přesný. Nabízí se jako užitečné jiné řešení. Definujme pomyslná čísla, menší než jakýkoliv zlomek a předpokládejme, že Δx nabývá hodnoty jednoho z těchto čísel. Tento postup je použit u hyperreálných čísel Adama Robinsona. Výsledná pravidla výpočtů jsou stejná jako pravidla klasického diferenciálního počtu. Výsledky diferenciálního počtu většinou spočívají v porovnání dvou nekonečně malých čísel, a proto při tomto přístupu není důležitá skutečná hodnota používaných nekonečně malých čísel, ale pouze poměr dvou těchto hodnot. Dá se však stanovit takový soubor pravidel, který určuje daná nekonečně malá čísla na základě určitého kriteria (v následujícím textu nazývaného souslovím „základní určení“). Každé nekonečně malé číslo je tak určeno „absolutně“, stejně jako jsou určena přirozená čísla nebo zlomky, což má za následek možnost počítat s těmito čísly stejně (podle stejných pravidel) jako s přirozenými čísly nebo zlomky.

Část II. : Calculus hypoteticus - Pomyslný počet

§ 1. Zavedení pomyslných čísel

V úvodu tohoto odstavce prohlašuji, že jsem četl na doktorskou disertační práci Martina Semeráda „Imaginace nekonečna“ která pojednává o spisu Bernarda Bolzana „Paradoxy nekonečna“ a tato práce a diskuse s autorem mně pomohla upřesnit a dokončit následující text (který byl v té době již napsán, ale ve velmi nepřesné podobě). Disertační práci se autorovi na MFF UK nepodařilo formálně obhájit, ačkoliv z posudků oponentů je možno vyčíst, že práci vytýkají hlavně to, že není v souladu s přijímanými matematickými názory. O nepřijetí práce se jistě zasloužil i styl této práce, ve které - jak píše jeden z oponentů – mnohá tvrzení jsou pouhé trucovité nápady, které nelze brát vážně. Ale především jsem toho názoru, že autor nedokázal své správné myšlenky formulovat tak, aby byly oponentům srozumitelné a to proto, že nenašel jednoduché formy zápisu a příslušné algoritmy, umožňující počítat s pomyslným objektem nazývaným nekonečné množství.

Toto je pokus, jak uvedené nedostatky napravit.

1.1 Výchozí představy:

Vycházím z představy Bernarda Bolzana, uvedené v poznámce pod čarou v §18 spisu „Paradoxy nekonečna“. Za tuto představu byl její autor vždy tvrdě kritizován a dokonce se v souvislosti s touto představou objevovaly pochybnosti o jeho zdravém rozumu. Tato představa spočívá v tom, že můžeme definovat množiny, ve kterých pokud je číslo „n“, je v ní i číslo (n+1), ale které se od sebe liší podle svého „základního určení“. Tato představa je v následujícím textu podrobně popsána a plně využita.

1.2 Zavedení pomyslných čísel: Prohlásíme, že existuje základní pomyslné číslo, které označíme N. S tímto číslem budeme provádět veškeré známé aritmetické operace. Jejich výsledkem budou další pomyslná čísla. Každé nekonečné posloupnosti, jejímiž členy jsou čísla přiřadíme dvě pomyslná čísla p=f(N) a h=φ(N). Číslo „p“ vyjadřuje pomyslný nekonečný počet členů posloupnosti. Číslo „h“ vyjadřuje pomyslnou nejvyšší hodnotu, které dosahují členy posloupnosti.

Definujeme základní nekonečnou posloupnost [1,2,3……]p=N, h=N

(1) Mějme základní posloupnost [1,2,3……]p=N, h=N

(2) Odstraněním lichých čísel dostaneme posloupnost [2,4,6……]p=N/2, h=N

(počet členů posloupnosti je N/2, nejvyšší hodnota je N)

(3) Vynásobením prvků první posloupnosti dvěma dostaneme [2,4,6…...]p=N, h=2N

(počet členů posloupnosti je N, nejvyšší hodnota je 2N)

(4) Pokud očíslujeme prvky třetí posloupnosti dostaneme [1,2,3…...]p=N, h=N

(5) Pokud ale očíslujeme prvky druhé posloupnosti dostaneme [1,2,3……]p=N/2, h=N/2 (každá „číslovací“ posloupnost musí mít p=h)

(6) Pokud z (1) odstraníme čísla, která nejsou čtverci dostaneme [1,4,9,16..]p=√N, h=N

(7) Pokud v (1) umocníme každý prvek na druhou dostaneme [1,4,9,16..]p=N, h=N²

(8) Pokud očíslujeme prvky v posloupnosti (7) dostaneme [1,2,3…...]p=N, h=N

(9) Pokud ale očíslujeme prvky posloupnosti (6) dostaneme [1,2,3…...]p=√N, h=√N

(10)Pokud vybereme z posloupnosti (1) čísla tvaru 2ⁿ dostaneme [2,4,8,16,32..]p=log₂N, h=N

(11)Pokud v posloupnosti (1) každý člen nahradíme členem 2ⁿ máme [2,4,8,16,32..]p=N, h=2^N

(12)Pokud očíslujeme členy posloupnost (11) dostaneme [1,2,3….]p=N, h=N

(13)Pokud ale očíslujeme členy posloupnosti (10) dostaneme [1,2,3….]p=log₂N, h=log₂N

(14)V posloupnosti (1) ke každému prvku „n“přidáme prvek (n-0,5): [0.5,1,1.5,2,..]p=2N, h=N-0.5

(15)V posloupnosti (1) každý prvek vydělíme dvěma: [0.5,1,1.5,2,..]p=N, h=N/2

(16)Pokud očíslujeme prvky posloupnosti (15) dostaneme [1,2,3,…..]p=N, h=N

(17)Pokud ale očíslujeme prvky množiny (14) dostaneme [1,2,3,….]p=2N, h=2N

(18)Zobecníme popis vzniku množiny (14) tak, že od každého členu posloupnosti (1) odečteme

postupně (m-1/m), (m-2/m), …..1/m a vzniklá čísla přidáme do posloupnosti (1) dostaneme

posloupnost: [1/m, 2/m, ….(m-1)/m, m/m, 1+1/m, 1+2/m,. …1+(m-1)/m, 2, …]p=m*N,h=N

(19)Zobecníme vznik členů posloupnosti (15) tak, že její členy jsou členy posloupnosti (1) vydělené

číslem „m“ dostaneme posloupnost :

[1/m,2/m,…m/m,1+1/m,1+2/m,….3+1/m,3+2/m …]p=N, h=N/m

(20)Pokud očíslujeme členy posloupnosti (19) dostaneme posloupnost [1,2,3,…]p=N, h=N

(21)Pokud očíslujeme členy posloupnosti (18) dostaneme posloupnost [1,2,3….]p=m*N, h=m*N

(22)Pokud v posloupnosti (18) nahradíme číslo „m“ pomyslným číslem „N“ dostaneme posloupnost:

[1/N, 2/N,…N/N=1, 1+1/N, 1+2/N,…1+N/N=2,…]p=N*N, h=N

(23)Pokud v posloupnosti (19) nahradíme číslo „m“ pomyslným číslem „N“ dostaneme posloupnost

[1/N, 2/N,…..N/N=1]p=N, h=N/N=1

(24)Pokud očíslujeme členy posloupnosti (22) dostaneme opět posloupnost přirozených čísel kde

„p“ je stejné jako u posloupnosti číslované h=p tedy: [1,2,3,..]p=N², h=N²

(25)Pokud očíslujeme posloupnost (23), číslovací množina je [1,2,3,..]p=N, h=N

(26)Pokud v posloupnosti (1) přidáme ke každému prvku (n²-1) prvků, jejichž hodnota je rovnoměrně

rozdělena mezi číslo „n“ a (n-1) , tedy k číslu 1 přidáme 1²-1=0 prvků

k číslu 2 přidáme 2²-1=3 prvky : 1+1/4, 1+2/4, 1+3/4

k číslu 3 přidáme 3²-1=8 prvků : 2+1/9, 2+2/9, ……

dostaneme posloupnost [1, 1+1/4, 1+2/4, 1+3/4, 2, 2+1/9, 2+2/9, 2+3/9,..]p=∑n²=N³+N²+N, h=N

(27)Vydělme v posloupnosti (1) n-tý člen číslem n² : [1, 2/4, 3/9,4/16,..]p=N, h=N/N²=1/N

(28)Vydělme v posloupnosti (1) n-tý člen číslem 2ⁿ : [1/2, 2/4, 3/8, 4/16, 5/32,…]p=N, h=N/2^N

(29)Číslovací posloupnost posloupnosti (26) je [1,2,3,….]p=N³+N²+N, h= N³+N²+N

(Je zřejmé, že číslovací posloupnost nějaké posloupnosti (i) je[1,2,3,…]p=h= p_i. Tedy posloupnost

tvaru[1, 2, 3,…] ve které pomyslný počet členů je roven počtu členů číslované posloupnosti)

(30)Pokud v posloupnosti (1) přidáme ke každému prvku „N“ prvků, jejichž hodnota je mezi „n“ a

(n+1) dostaneme posloupnost [1+1/N, 1+2/N …1+N/N, 2+1/N, 2+2/N,….]p=N*N=N²,h=N

(31) Pokud v posloupnosti (1) přidáme ke každému prvku „N²“ prvků, jejichž hodnota je mezi „n“ a

(n+1) dostaneme posloupnost [1+1/N², 1+2/N²…..1+N²/N², 2+1/N², 2+2/N²,..]p=N*N², h=N

(32)Pokud v posloupnosti (1) přidáme ke každému prvku „2^N“ prvků, jejichž hodnota je mezi „n“ a

(n+1) dostaneme posloupnost [1+1/2^N, 1+2/2^N, ..1+2^N/2^N, 2+1/2^N, 2+2/2^N, ….]p=N*2^N,h=N

Obecně řečeno, veškeré popsané manipulace s posloupností (1) spočívají v ubírání členů, přidávání členů, násobení, mocnění, exponování nějakého základu členem, dělení členů, odmocňování členů, logaritmování členů při nějakém základu. Výsledkem jsou posloupnosti o různých pomyslných hodnotách p=f(N) a h=φ(N). Patrně f(N) nemůže být menší než 1. Naproti tomu φ(N) se může rovnat například 1/N, (viz bod (27) což můžeme nazvat nekonečně malým pomyslným číslem.

Číslovací posloupnosti:

A) Každá číslovací posloupnost může být zapsána ve tvaru : [1,2,3,…]p=f(N), h=f(N)

B) Ke každé posloupnosti [a1, a2, a3,……]p=f(N), h=φ(N) náleží číslovací posloupnost

[1, 2, 3,……….]p=f(N),h=f(N)

C) Každou číslovací posloupnost můžeme očíslovat číslovací posloupností, která je s ní stejná.

Je otevřená otázka, zda je možné definovat množinu všech číslovacích posloupností a z této množiny vytvořit posloupnost. Další otevřenou otázkou zasluhující prozkoumání je to, zda takto vytvořenou posloupnost můžeme očíslovat – tedy nalézt její číslovací posloupnost. Zdá se , že toto není možné a pojem číslovací posloupnost všech číslovacích posloupností je logicky sporný (podobně jako pojem holiče, který holí všechny lidi ve městě, kteří se sami neholí). Pojem množiny všech číslovacích posloupností by potom korespondoval s pojmem klasické teorie množin – množinou o mohutnosti alef jedna.

1.3. Množina pomyslných čísel

Podobně jako byla zavedena množina reálných čísel (jejichž název nám vnucuje představu, že „opravdu“ existují) je možno zavést množinu pomyslných čísel, v jejichž názvu je zdůrazněn předpoklad (hypotéza) existence těchto čísel v naší mysli (proto je nazývám též čísly hypotetickými).

Velmi stručně popíšu zavedení této číselné množiny tak, že pro ni platí všechna pravidla jako pro množinu tzv. čísel reálných, kromě způsobu definice relace uspořádání v Dedekindových řezech. Relace uspořádání pomyslných čísel je definována takto:

Buďte α = (A/B), α´= (Á/B´) řezy 1. nebo 3. druhu. Existuje-li racionální číslo, jež patří do Á a současně do B, říkáme, že řez α´ je větší než α a vyznačujeme to znakem α´ > α. Jestliže takové číslo neexistuje, potom pomyslné číslo α´ > α , pokud je každý člen posloupnost p_α´ větší než každý člen posloupnosti p_α (od určitého „n“). Posloupnosti p_α´ a p_α jsou posloupnosti, jejichž limitou je „reálné“ číslo definované řezem 1. nebo 3. druhu (stejné pro obě posloupnosti, neboť jsme řekli, že neexistuje racionální číslo jež patří do A´ a současně do B!).

(Jsem přesvědčen, že definici reálných čísel je možno založit nikoliv na řezech, ale na limitách klesajících a stoupajících posloupností racionálních čísel a stejně tak definici pomyslných čísel a to mnohem jednodušeji).

§ 2. Má to nějaké použití?

2.1. Integrace funkcí Dirichletova typu

Jakým způsobem je možné uplatnit shora uvedená pravidla pro konkrétní matematické výpočty?

Uvažujme o výpočtu integrálu z funkce Dirichletova typu

= 0 pro x_i, i= 1 až „n“, n→∞

f(x)

= l pro x ≠ x_i

Klasická matematika se domnívá, že tuto funkci lze definovat „staticky“ například formulí f(x) = 0 pro „x“ je racionální číslo. Uplatníme-li však pravidla uvedená shora a to především pravidlo, podle kterého je každá nekonečná množina závislá na svém základním určení, ihned vidíme, že takto tuto funkci definovat nelze. Přísně vzato, ani zde uvedený zápis, který není statický nedefinuje jednoznačně tuto funkci, ale ponechává nám volnost tuto funkci jednoznačně určit doplněním definice o to, jakým způsobem se „n“ blíži k nekonečnu, ale také, jakým způsobem se bod x_i stává bodem (viz dále).

Tímto určením se dosud nejednoznačně definovaná funkce rozpadne na množinu odlišných jednoznačně definovaných funkcí. A tyto funkce – klasickým zápisem zdánlivě stejné – se od sebe navzájem liší jednak upřesněním zápisu způsobu svého vzniku, jednak tím, jaký je například jejich integrál přes určitý integrační interval. V následujících příkladech budeme pro zjednodušení výkladu uvažovat integrál od nuly do „c“, který budeme počítat pomocí pomyslných čísel :

Vyjdeme z pozměněné f(x) :

= 0 pro x patřící do intervalu ∆_i , i = 1 až n ,

f₁(x) šířka každého z intervalů ∆_i = ∆(n)

= l pro ostatní x

Integrál této funkce od 0 do „c“ I_0,c= l *(c-n*∆(n)). Hledaný integrál původní funkce (pro nekonečný počet intervalů Δ_i, ve kterých je f(x) = 0) vypočítáme tak, že do vzorce dosadíme za „n“ určité pomyslné číslo a za šířku intervalu ∆(n) převrácenou hodnotu určitého (jiného) pomyslného čísla. Zavedeme nejprve představu nekonečné posloupnosti vkládání intervalů Δ_i do intervalu <0,c> a závislosti šířky těchto intervalů na jejich počtu. Představa musí splňovat podmínku, že intervaly Δ_i jsou do intervalu <o,c> vloženy rovnoměrně. Tato posloupnost je základním určením pro limitu, které sice žádný člen posloupnosti nedosáhne, ale o které tvrdíme, že je touto posloupností určena. Je určen nekonečný počet intervalů f(N) a jejich nekonečně malá šířka φ(N).

Příklad (1) : Dosadíme n= N, ∆(n) = 1/N²

I_0,c = l *(c-N/N²) = l *c – l /N . Ke klasickému výsledku dojdeme pokud zanedbáme l /N

Příklad (2) : Nyní si povšimneme, že integrál funkce f₁(x) od 0 do „c“ se dá vyjádřit také vzorcem

I_0,c = (n+1)*l *∆(n) , kde ∆(n) jsou intervaly pro které „x“ nepatří do ∆_i. Hledaný

integrál původní funkce f(x) (pro nekonečný počet bodů x_i, ve kterých f(x)=0)

vypočítáme opět tak, že za „n“ dosadíme určité pomyslné číslo N a za šířku intervalu

∆(n) převrácenou hodnotu určitého (třeba jiného) pomyslného čísla. Pokud má příklad

(2) korespondovat s příkladem (1), potom musíme dosadit n=N a ∆ = (c-∆(n)*N)/(N+1) =

= (c-1/N²*N)/(N+1) = c/(N+1) – 1/(N²+N) !!!

I_0,c = (N+1)*l *(c-N/N²)/(N+1) = l *c – l /N a to přesto, že ∆(N) se podle klasického

výkladu rovná nule !!!

Tento příklad ukazuje, že integrace funkcí Dirichletova typu nemá nic společného s

„mohutnostmi“ množin bodů, neboť není možno vysvětlit, proč by množina bodů

 patřících do intervalů ∆ v prvním příkladu měla být jiné mohutnosti než množina

bodů patřících do intervalů ∆ v druhém příkladu. Důvodem rozdílů není tedy „mohutnost“

ale pomyslné číslo, udávající rozdílnou šířku intervalů ∆ a ∆. Viz další příklad.

Příklad (3) : Do vzorce I_0,c= l *(c-n*∆(n)) dosadíme za n=N, ∆(n)= c/(2*N)

I_0,c= l *(c-N*c/(2*N) = l *c - l *c/2 = l *c/2

Obecně pokud n=N, ∆(n)=c/(m*N), potom I_0,c= l *c/m

Výsledek tohoto příkladu není v souladu s klasickou matematikou, která se domnívá, že integrál Dirichletovy funkce (f(x) = 0 pro „x“ je racionální číslo) na uvedeném intervalu je jediný a rovná se l*c,

kdežto výpočet pomocí pomyslných čísel ukazuje, že závisí na způsobu vzniku množiny racionálních čísel a na způsobu, jakým vznikla pomyslná (podle klasické matematiky nulová) šířka bodů pro které f(x) = 0.

Příklad (4) : Do vzorce I_0,c= l *(c-n*∆(n)) dosadíme za n=N a ∆(n) = 1/√N

I_0,c = l *(c-N/√N) = l *c – l *√N Výsledek je roven -∞ , což je zdánlivý nesmysl.

Musíme však mít na paměti, že při způsobu vzniku pomyslné šířky intervalu 1/√N

musel nastat pro určité „n“ okamžik, ve kterém šířka všech ∆(n) – tedy ∆(n)*n

přesáhla šířku integrovaného intervalu „c“ a tudíž odečítání předepsané vzorcem

I_0,c= l *(c-n*∆(n)) ztrácí smysl.

Pomyslných čísel se dá využít také při výpočtu integrálů na diskontinuu. Pomyslná čísla dobře vysvětlují, proč celková šířka intervalů (klasická matematika říká „míra množiny bodů“) závisí na způsobu vzniku toho kterého diskontinua.

2.2. Obecné diskontinuum

Nejznámějším diskontinuem je „Cantorovo diskontinuum“, které vznikne tak, že z jednotkové úsečky odebereme prostřední třetinu, z každé ze zbývajících dvou částí opět jejich prostřední třetinu, ze zbylých čtyřech částí opět ….. atd. Toto odebírání probíhá v jednotlivých krocích. Opět zopakujme: neexistuje takový krok, ve kterém by byl odebrán nekonečný počet částí a stejně tak v každém provedeném kroku je délka každé zbylé části konečná. Mějme jednotkovou úsečku, na které byl proveden krok č.1 a pokud byl proveden krok „n“, byl také proveden krok (n+1). Potom je počet odebraných částí (intervalů) nekonečný a šířka každého ze zbylých intervalů je podle klasické matematiky rovna nule. Jsou to tedy body. Celková šířka zbylých intervalů (kterých je nekonečný počet) je rovna nule.

Je však možno vytvořit jiná diskontinua. Z jednotkové úsečky můžeme odebírat popsaným způsobem intervaly délky 1/a, kde a > 3. Potom je v takovém diskontinuum počet odebraných intervalů a stejně tak počet zbylých intervalů nekonečný. Šířka zbylých intervalů je opět nulová – jsou to tedy body. Ale součet všech šířek zbylých intervalů není nula, ale je to konečné číslo. Pro a=4 je to ½.

Popišme některá diskontinua, vzniklá obecnějším způsobem:

D(a,1) bude označovat diskontinuum, které vznikne odebíráním jedné prostřední části délky 1/a z každé zbylé části, tedy v prvním kroku jedné části délky 1/a, ve druhém kroku dvou částí délky (1/a)² atd.

Vypočítejme hodnoty charakterizující toto diskontinuum:

Počet odebíraných dílů v n-tém kroku Po,n = 2ⁿ/2

Počet odebraných dílů po n-tém kroku PSo,n = 2ⁿ – 1

Délka odebíraného dílu v n-tém kroku Do,n = 1/aⁿ

Délka odebraných dílů v n-tém kroku DSo,n = 2ⁿ/2*aⁿ

Délka odebraných dílů po n-tém kroku DDSo,n = ∑ DSo,n = (1/2)*∑ (2/a)ⁿ = (1-(2/a)ⁿ)/(a-2)

Počet ponechaných dílů po n-tém kroku PSp,n = 2ⁿ

Délka ponechaných dílů po n-tém kroku DSp,n = 1 – DDSo,n = (a-3 + (2/a)ⁿ)/(a-2)

Délka jednoho ponechaného dílu Dp,n = DSp,n/2ⁿ = [(a-3 + (2/a)ⁿ)/(a-2)]*1/2ⁿ

Aby bylo popsané odebírání dílů možné, je třeba, aby a ≥ 3. Pokud se n→∞, blíží se délka jednoho ponechaného dílu k nule. Avšak délka všech ponechaných dílů se blíží k číslu (a-3)/a-2). Pokud např. a=4, délka ponechaných dílů je rovna ½, ačkoliv podle klasického uvažovaní je délka každého ponechaného dílu nulová.

Diskontinuum je definováno tak, že postup, kterým se dostaneme k nekonečnému počtu ponechaných dílů je jednoznačný. Jejich pomyslný počet a pomyslná délka je tedy popsaným postupem určena jednoznačně. Aplikace pomyslného kalkulu na popsané diskontinuum nepřináší tedy jiné výsledky, než ty, kterých je možné se dobrat klasickými výpočty. Ale diskontinuum nám názorně ukazuje rozdíl mezi přístupem klasické matematiky a přístupem použitým v teorii pomyslných čísel. Klasická matematika vysvětluje klasickým způsobem vypočítané rozdílné hodnoty udávající celkovou šířku nekonečného počtu bodů nulové šířky pomocí teorie míry. Avšak toto vysvětlení je jen zdánlivé. Teorie míry ve skutečnosti tvrdí, že nespočetná množina bodů nulové šířky má jednou míru nula a podruhé míru ½. Naproti tomu teorie pomyslných čísel ukazuje jasně, že pomyslná šířka těchto bodů je jiná v prvním případě a jiná ve druhém případě, protože v každém z obou případů je základní určení daných nekonečných množin jiné.

2.3. Integrace funkcí dosahujících nekonečné hodnoty

V názvosloví používaném v učebnicích integračního počtu je zmatek. Nebudu to rozebírat a vytvořím rovnou názvosloví, které má smysl.

1) Funkci F(x), po jejímž derivování obdržím funkci f(x) dám název antiderivace funkce f(x).

2) Pokud použiji název „integrál“ funkce f(x) jedná se vždy o plochu pod křivkou f(x) od hodnoty x₀ do hodnoty x_n pokud f(x) > 0 tj. od této křivky k ose „x“, a o zápornou plochu nad křivkou až k ose „x“ od hodnoty x₀ do hodnoty x_n pokud f(x) ≤ 0. Aby definice byla opravdu dokonalá, měl bych říci, co míním slovem „plocha“. Zatím to ponechám intuici.

3) Používaný název „Newtonův integrál“ použiji pro rozdíl dvou hodnot antiderivace, tedy pro F(x_n) – F(x₀) , kde x_n > x_0.

4) Používaný název „Riemannův integrál“ použiji pro limitu součtu ∑ ∆_i*f(x_i), kde x_i je libovolná hodnota x z intervalu ∆_i , kde ∆i se blíží k nule (tedy i se blíží k ∞) – pokud se tato limita nemění pro libovolnou hodnotu x z intervalu ∆_i. (Poslední podmínka je ekvivalentní Darbouxově podmínce). Definuji, že tato limita je rovna ploše definované v bodu (2). Dále předpokládám (tvrdím),

že Newtonův integrál definovaný v bodu (3) je roven této ploše.

5) Darbouxova podmínka požaduje, aby se limita shora definovaného součtu neměnila pro libovolnou hodnotu x z intervalů ∆_i. Znamená to, že rozdíl mezi nejvyšším možným součtem a nejnižším možným součtem je nula: D = ∑_max - ∑_min = 0

Pokud rozdělíme integrovaný interval na díly ∆_i konstantní velikosti, potom rozdíl horního a dolního součtu „D“ je

D = ∆*(f(x_n) – f(x₀))

Hledejme Riemannův integrál funkce f(x) = 1/√(c-x) od x₀ do x_n pro x_n ≠ c

D = ∆*( 1/√(c-x_n) - 1/√(c-x₀))

potom musí být lim D_∆→0 = 0 , aby tento integrál mohl existovat

Pokud hledáme tento integrál od x₀ do x_n = c, můžeme jej nalézt jako limitu x_n → c a ∆ → 0

potom musí být lim D_{∆→0 a xn → c} = ∆*( 1/√(c-x_n) - 1/√(c-x₀)) = 0

Avšak tuto limitu nelze spočítat, neboť po dosazení

lim D = 0*(1/√0) – 1/√c-x_n) = 0*∞ - 0

Použijme pro zjištění, zda uvedený integrál existuje pomyslná čísla. K tomu však potřebujeme stanovit, jakým způsobem tato pomyslná čísla vznikla. Pokud vznikla tak, že ∆ závisí na x_n následovně

∆ = l * (c- x_n) , x_n = c - ∆/ l , c-x_n = ∆/ l

a ∆ závisí na „n“ následovně ∆ = 1/n ( je pravděpodobně možno dosadit cokoliv, ale pro n→∞ se musí ∆→0 – např. ∆ = (1/2)ⁿ )

D = ∆ *(1/( √(∆/ l ) - 1/√(c-x₀)) = 1/n * (√(n/l ) - 1/√(c-x₀)

dosadíme za „n“ pomyslné nekonečné číslo N:

D = 1/N * (√(N/l ) – 1/√(c-x₀))

D = 1/√l * N) – (1/N)/√(c-x₀) Po dosazení 1/N = 0 dostaneme D = 0

Pokud však ∆ závisí na x_n takto ∆ = l *√(c-x_n) √(c-x_n) = ∆/l

D = ∆ * (l /∆) - ∆/√(c-x₀) = l - ∆/√(c-x₀)

Po dosazení ∆= 1/N D = l !!!! Je zřejmé, že pokud ∆ závisí na (c-x_n) jiným způsobem, potom rozdíl mezi horním a dolním součtem se nerovná nule. Z toho plyne, že hledaný integrál existuje tehdy, pokud se podaří nalézt (pokud existuje) nějaká funkce ∆ = φ (c-x_n) taková , že pro ni D=0 !

Závěr:

Napadá mne na takovýto „bonmot“: Toto pojednání má jednu stejnou vlastnost jakou přisuzuji nekonečné množině: je to hotové, ale nedokončené. Nedokončenost má však v tomto případě ten důvod, že téma je na moje současné možnosti a schopnosti příliš obtížné. Už to prostě není to, co to bývalo ještě před několika lety. Jak píše starý Platon v dialogu Parmenides – je to se mnou jako s tím Ybykovým koněm. Nemohu se už zapřažen do rychlého vozu pouštět do závodu. Proto text zveřejňuji tak jak je (po nekonečných úpravách a upřesněních) s různými nedostatky, chybami, mezerami a nejasnostmi. Bohužel si bude muset (pokud ho to bude zajímat) „běžný“, ale ještě svěží matematik mnoho věcí doplnit, domyslet nebo případně i upravit sám.

Rekapitulace:

1, Mezi matematiky je rozšířeno mnoho polopravd, omylů a mýtů, kterým tito lidé věří a brání tak pochopení základních matematických skutečností a tím i rozvoji této vědy. Toto pojednání se některými takovými omyly zabývá a snaží se je vysvětlit a napravit.

2, Jedním z těchto omylů je způsob, jakým se hovoří o nekonečných množinách. O nekonečné množině není možné prohlásit, že vznikla. Pokud teorie množin tvrdí, že nekonečná množina existuje, potom nemohla vzniknout nějakým postupným vytvářením. Buď zde musela být vždy, nebo musela být stvořena v určitém okamžiku nějakým zázrakem. Samo toto tvrzení je na jednu stranu dobře pochopitelné ale na druhou stranu naprosto nepochopitelné. Proto podvědomě každý (i autor tohoto pojednání) neustále opakuje chybné a zavádějící výroky o vzniku či vytváření nekonečných množin.

3, Pojmy potenciální nekonečno a aktuální nekonečno jsou nesprávně chápány, což vede k diskusím o tom, zda „existuje“ pouze nekonečno potenciální a aktuální nikoliv, nebo zda „existují“ obě nekonečna. Avšak představa, že může být nějaká množina pouze potenciálně nekonečná je chybná. Pokud můžeme nalézt vždy další a další člen množiny, musí zde být („existovat“) množina všech možností a ta je aktuálně nekonečná. Existenci potenciálního a aktuálního nekonečna nelze oddělit.

4, Pojem limity je v matematice velice užitečný (o čemž nikdo nepochybuje). Jeho užitečnost však může být vykládána v následujícím smyslu: dovoluje nám hovořit o vlastnostech určité posloupnosti, aniž je nutno předpokládat, že je nekonečná. Tento pojem zavádí existenci čísla, ke kterému se mohou hodnoty členů určité posloupnosti přiblížit tak blízko, jak se subjektivně rozhodneme, že je to třeba. Nemusíme tak nutně hovořit o nekonečnu a vyhneme se všem paradoxům. Ovšem pouze za předpokladu (který obvykle není vysloven), že existuje určité číslo, které se tak málo liší od limity, že nemá smysl tento rozdíl dále zmenšovat a proto se o to nebudeme pokoušet. Touto nevyslovenou a neuvědomovanou dohodou se tak vyhneme nutnosti předpokladu existence potenciálně nekonečné a tím i aktuálně nekonečné posloupnosti (ačkoliv někdo omylem stále může hovořit o potenciálně nekonečných hodnotách). Ironicky se tento postup nazývá ε – δ gymnastika. Avšak pojem limity předpokládá existenci čísla, které je rovno této limitě. Těchto čísel může být nekonečné množství a tak se předpokladu existence nekonečna tímto způsobem stejně nevyhneme.

5, V úvahách o nekonečných množinách se však objevují paradoxy. Definuji paradox jako logický rozpor, kterému je možné se vyhnout tak, že zakážeme matematické a logické operace, které k němu vedou. Příkladem takové operace je rozklad úsečky na nekonečný spočetný počet stejných částí (intervalů) nebo rozklad množiny nekonečných posloupností nul a jedniček na spočetný počet podmnožin. Každý z takto definovaných intervalů je nutně jednobodový (a každá podmnožina jednoprvková) a tak je úsečka rozložena na nekonečný spočetný počet bodů, což je v rozporu s důkazem o jejich nespočetnosti. Proto je nutno existenci takto definovaných objektů zakázat, podobně jako je v matematice zakázáno dělení nulou.

6, Přestože si každý matematik vysoce cení přesnosti a bezrozpornosti matematických úvah a přestože je dnes matematika vysoce formalizovaná což ji podle mínění mnohých činí odolnou proti chybám, objevují se v ní evidentní rozpory a chyby. Uvedu několik příkladů, které mají vliv na základní matematické skutečnosti.

a, Dedekind zavádí reálná čísla pomocí teorie řezů. V základech této teorie je definice, která zavádí uspořádání řezů: Existuje-li číslo, jež patří do Á a současně do B, říkáme, že řez α´ je větší než α a vyznačujeme to znakem α´ > α. Tato definice je implikací a na jejím základě je dokazována věta: Věta 11* Jsou-li α =(A/B), α´= (Á/B´) řezy 1. nebo 3. druhu, potom platí jeden a jen jeden z těchto tří vztahů: buďto je α= α´ nebo je α´> α nebo je α > α´. Avšak na základě této definice jako implikace nelze tuto větu dokázat. To lze pouze v případě, že definice je formulována jako ekvivalence.

b) Archimedovu vlastnost reálných čísel je vlastnost čísla a > 0 dosáhnout po vynásobení

nějakým přirozeným číslem „n“ hodnoty vyšší než dané číslo „b“.

Že tuto vlastnost určitá čísla mají se dokazuje nesmyslným způsobem pomocí rovnice a*n > b, tudíž

pokud by tato rovnice neplatila muselo by být a*n ≤ b pro každé „n“. Potom by pro každé „n“ platilo n ≤ b/a – tedy množina přirozených čísel by byla shora omezená (což je spor). Jedná se o typický důkaz kruhem, který předpokládá to, co teprve má být dokázáno. Pokud není na počátku důkazu uvedeno, že obě čísla jsou prvky množiny Re, potom číslem b/a může být množina přirozených čísel shora omezená. To, že všechna reálná čísla mají Archimedovu vlastnost vyplývá z toho, že jsou prvky množiny Re a pro jejich definování byla použita v předchozím bodě zmiňovaná definice jako ekvivalence. A v důsledku toho splňují axiom o infimu a supremu a předpoklad omezenost množiny přirozených čísel nějakým reálným číslem b/a je s tímto axiomem ve sporu.

c) Věta o supremu (nebo infimu) je uváděna jako poslední (třináctý) axiom vymezující obor reálných čísel. Často se používá výrok, že znění tohoto axiomu zaručuje, že obor reálných čísel je úplné uspořádané těleso. Obvykle není nikde uvedeno, vzhledem k čemu je toto těleso úplné.

Úplnost tělesa musí být definována vzhledem k tomu, jaké operace je možno použít. Pokud použijeme nějaké další operace, kromě operací „obvyklých“, potom vzniknou nová čísla, která nepatří do množiny reálných čísel (tedy do množiny čísel určených Dedekindovými řezy a použitím vpředu uvedené definice jako ekvivalence). Vzhledem k těmto novým operacím a použití vpředu uvedené definice jako implikace není množina reálných čísel úplná (neboť byla definována jiná čísla, než čísla reálná). Avšak takto definovaná čísla nesplňují axiom o supremu. Jiné operace tedy vzhledem k platnosti tohoto axiomu nelze použít a proto je množina operací, kterými jsou stvořena reálná čísla vzhledem k platnosti tohoto axiomu úplná.

d, V teorii množin je jako jeden z axiomů použita věta: „ existuje nekonečná množina“. Tento postup je pochybený a nutně vede k rozporům a nejasnostem. Stejně pochybený by byl postup, který by zaváděl komplexní čísla větou: „existuje druhá odmocnina z minus jedné“. Nekonečná množina je objekt, který (stejně tak jako odmocnina ze záporného čísla) je sporný sám se sebou. Věta „existuje nekonečná množina“ říká „existuje nedokončené“, případně „je hotové nedokončené“, tedy „je dokončené nedokončené“. Přesto však v matematice pojem „nekonečná množina“ nutně potřebujeme. Pro jeho zavedení můžeme použít stejný postup, jako byl použit při zavedení komplexních čísel. Nejprve je nutno definovat operace, které lze provádět s určitým pomyslným objektem, tak aby provádění těchto operací nevedlo k logickým rozporům. Potom tento pomyslný objekt je určen tímto souborem operací a je možno jej označit nějakým symbolem, v tomto případě symbolem „nekonečná množina“, nebo symbolem „N“. Největším problémem je samozřejmě vhodné definování těchto operací. Tyto operace definujeme tak, jako bychom věděli už předem, že jim bude vyhovovat objekt s vlastnostmi nekonečné množiny. Protože však takový objekt nelze dobře definovat, máme ve výběru operací určitou volnost a vybíráme je tak, aby uvedený pomyslný objekt byl „matematicky užitečný“.

7, Zavedeme pomocí definice řezů na racionálních číslech řezy 3.druhu jiným způsobem, než jsou zavedeny Dedekindovými řezy: Každý řez je limitou posloupnosti řezů 2. druhu. Mezi takovýmito řezy jsou jak řezy 2.druhu, tak řezy 3.druhu. Uspořádání řezů definujeme tak, že prohlásíme: Existuje-li číslo, jež patří do Á a současně do B, říkáme, že řez α´ je větší než α a vyznačujeme to znakem α´ > α. Pro každé reálné číslo platí také opačná implikace: jestliže říkáme, že řez α´> α , potom existuje číslo, jež patří do A´a současně do B. Neexistuje-li číslo jež patří do Á a současně do B nebo takové, jež patří do B´ a současně do A, říkáme, že řez α´ > α pokud každý člen posloupnosti, kterou byl zaveden řez α´ je větší, než každý člen posloupnosti, kterou byl zaveden řez α (počínaje nějakým členem „n“). Zavádíme tak čísla, která jestliže jsou určena posloupností řezů 2. druhu, jejíž limitou je nula, potom nemají Archimedovu vlastnost. Každé takové číslo je menší než každé reálné číslo, ale větší než nula.

8, Pro početní operace s takovýmito čísly je možno stanovit určitá pravidla. Nejprve přisoudíme každému reálnému číslu schopnost vyjadřovat dva významy: počet a hodnotu. Oba tyto významy se v případě reálných čísel označují jedním znakem. Dále definujeme základní nekonečnou posloupnost přirozených čísel, které přisoudíme počet členů označovaný znakem „N“ a na rozdíl od zavedených zvyklostí také hodnotu neexistujícího posledního členu této posloupnosti, kterou označíme také znakem „N“. Číslo „N“, protože označuje hodnotu něčeho, co neexistuje, nazveme hypotetickým číslem. Matematickými operacemi se členy základní posloupnosti obdržíme posloupnosti, počet jejichž členů značíme p = f(N) a pomyslnou hodnotu posledního členu značíme φ(N).

9, Vpředu popsaná hypotetická čísla korespondují s hyperreálnými čísly Adama Robinsona, až na jednu výjimku: zatímco hyperreálná čísla nerozlišují mezi počtem a hodnotou, hypotetická čísla tak činí. U reálných čísel je počet možno přisoudit pouze číslům celým, kdežto hodnotu je možno přisoudit všem číslům reálným a u celých čísel je počet i hodnota označována stejným znakem. U infinitesimálních hypotetických čísel mají počet i hodnotu pouze nekonečná čísla (větší než každé přirozené číslo), kdežto nekonečně malá čísla (menší než každý zlomek) mají pouze hodnotu.

10, Zavedení hypotetických čísel, u kterých je rozlišován pojem počtu a hodnoty umožňuje provádět názorně a jednoduše některé operace a úvahy – například výpočet integrálu funkcí dosahujících nekonečné hodnoty, netradiční výpočet integrálu Dirichletovy funkce a výpočet míry u různých druhů diskontinua.

Sepsáno v Mělníku v letech 2006 až 2010

Jaroslav Lébl

leblmath'(zavináč)'seznam.cz